La línea recta:  Una aplicación al cálculo diferencial 

Guía electrónica de estudio para el estudiante 

Dr. M. Ranferí Gutierrez M. 

matematicaurl@gmail.com 

Introducción 

Uno de los temas más importantes de la matemática previa al cálculo es el correspondiente a la línea recta.  Las razones por las cuales cualquier estudiante de ingeniería o de ciencias debe de estudiar la línea recta son variadas, siendo algunas de ellas el que muchas aplicaciones involucran intrínsicamente modelos lineales, mientras que algunos fenómenos complejos pueden, bajo condiciones especiales, modelarse con funcions lineales. En cálculo diferencial es innegable también el papel fundamental de la línea recta.  

 

En la práctica se observa que muchos estudiantes tienen dificultades serias con los conceptos básicos relacionados con la línea recta.    

Algunos ejemplos de las dificultades que tienen los estudiantes con la línea recta son su falta de comprensión del significado geométrico de la pendiente de una línea recta y de la relación existente entre la pendiente de la recta y el ángulo que la misma forma con el eje x. Esta guía tiene, como uno de sus objetivos, el ayudar al estudiante a superar las dificultades anteriormente indicadas. 

Objetivos de la guía electrónica 

Al finalizar de trabajar en esta guía asegúrese de que usted está en capacidad de: 

• Explicar satisfactoriamente las dos formas que se exponen en este documento para calcular la pendiente de cualquier línea recta .

 

• Comprender qué cambios ocurren en la ecuación de una línea recta cuando ésta se traslada a diferentes puntos del plano xy.

 

• Explicar la relación existente entre la pendiente de cualquier línea recta y el ángulo que la misma forma con el eje x.

 

• Interpretar geométricamente la información que proporciona cualquier gráfico

 

• Construir, utilizando transportador y regla, el gráfico a partir del conocimiento del gráfico .

 

 

Tiempo estimado para trabajar en esta guía: 30 minutos. 

 

 

Dos formas de calcular la pendiente de una línea recta 

Cuando se conocen las coordenadas de dos puntos y que pertenecen a una línea recta, la pendiente de la misma se obtiene a partir de la relación 

(3.1)

 

 

Otra forma de obtener la pendiente de una línea recta es a partir del conocimiento del ángulo θ que la recta forma con una línea paralela al eje x.     En este caso la relación entre la pendiente de la recta y el ángulo θ es    (3.2)     Utilice la relación (3.1) y la figura de abajo para convencerse de la validez de la relación (3.2).                 En la figura mostrada a la derecha, la recta pasa por el origen y forma un ángulo con la horizontal, por lo que su pendiente es -aplicando la ecuación (3.2)-    (3.3)     La ecuación de la recta es (recordando que pasa por el origen de coordenadas y que ):    y=

Si la recta es trasladada, como se muestra en la figura de la derecha, el ángulo que forma con el eje x NO CAMBIA por lo que su pendiente tampoco lo hace.  Únicamente cambia el valor de la ordenada al origen.    En el caso de la figura de la derecha, la recta sigue formando un ángulo con la horizontal, por lo que su pendiente sigue siendo - aplicando (3.2) -        La ecuación de la recta es, en este caso,        ya que la recta se desplazó verticalmente dos unidades hacia arriba del origen.

Estudio de la pendiente de la recta tangente a   

En la figura de la izquierda de abajo se muestra, en color rojo, el gráfico de .  En la misma figura, pero en color azul, se muestra la recta tangente en diferentes puntos de dicho gráfico.   

 

La barra deslizante permite desplazarse a lo largo de la curva roja, mostrando en cada punto la recta tangente correspondiente.  Arriba de la barra deslizante se muestra el valor de la pendiente de la recta tangente. 

 

La gráfica de la derecha corresponde a la función derivada de .  Observe que al mover la barra deslizante se recorre también diferentes puntos en dicha gráfica.   

 

Preguntas para analizar    Presione el botón  "Fijar x=2" para fijar en ambas figuras de arriba.  ¿Qué ángulo θ forma con el eje x la recta tangente a ? Ingrese su respuesta en el cuadro, aproximado con dos decimales (sin simbolo de grados), y presione botón para verificar: Respuesta:   Repita la pregunta anterior, pero ahora para considerando que la función es par.  Considere el ángulo θ medido en el sentido antihorario. Respuesta:   ¿Qué información le proporciona el gráfico de  ?

Estudio de la pendiente de la recta tangente a    

Mueva la barra deslizante que se encuentra abajo de la figura de la izquierda de esta seccion y asegúrese de comprender el comportamiento de la pendiente de la recta tangene descrito por la gráfica de de la derecha.   Observe cómo el valor de la pendiente de la recta tangente (indicado arriba de la barra deslizante) se corresponde con el valor del eje vertical de la gráfica de  

 

¡Evalúe su comprensión! 

Abajo se muestra, en color rojo, la gráfica corresondiente a También se muestran, para los valores de indicados en cada caso, el ángulo que forma la recta tangente con respecto a una recta horizontal. El ángulo está medido en sentido antihorario en cada caso. 

 

• Utilice la información de cada figura y complete la tabla que se muestra a la derecha de la Figura 5. Ingrese los datos con dos cifras decimales.

 

• Abajo de la figura 5 presione el botón "Graficar puntos" para obtener el gráfico correspondiente a los datos que ingresó en la tabla.

 

• Finalmente, ingrese en el espacio indicado la expresión analítica correspondiente a la función derivada de . Presione el botón "Superponer función derivada". ¿Le sorprende el resultado? ¿Comprende ahora la información que proporciona cualquier gráfico ?   Si lo comprende, ¡logró alcanzar uno de los objetivos más importantes de esta guía electrónica!

 

 

 

FIGURA 1	FIGURA 2
FIGURA 3	FIGURA 4
FIGURA 5	Pendiente de recta tangente