$\mathrm{sys}≔\mathrm{NewSystem}\left(\frac{2}{s^3+3s^2+5s+7}\right)\:$

Identify the parameters [$\mathrm{Ku}$, $\mathrm{Tu}$] of sys

$\mathrm{Params}≔\mathrm{evalf}\left(\mathrm{ParameterIdentify}:-\mathrm{FrequencyDomain}\left(\mathrm{sys}\right)\right)$

$\mathrm{Params}≔\left[3.999999994\,2.809925894\right]$

Calculate the controller parameters using the ZN (default) method

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{controller}'=P\right)$

$\left[1.999999997\right]$

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{\Pi }\,'\mathrm{factored}'=\mathrm{true}\right)$

$\left[1.599999998\,2.247940715\right]$

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{PID}\,'\mathrm{factored}'=\mathrm{true}\right)$

$\left[2.399999996\,1.404962947\,0.3512407368\right]$

Calculate the controller parameters using the TL method

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=P\right)$

$\left[1.599999998\right]$

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{\Pi }\right)$

$\left[1.239999998\,0.2005876254\right]$

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{PID}\,'\mathrm{factored}'=\mathrm{true}\right)$

$\left[1.799999997\,6.181836967\,0.4495881430\right]$

Return a DynamicSystems system object of the controller transfer function

$\mathrm{PIsys}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{\Pi }\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{system}\right)\:$

$\mathrm{PrintSystem}\left(\mathrm{PIsys}\right)$

$\left[\begin{array}{l}\mathbf{Transfer\; Function}\\ \mathrm{continuous}\\ \mathrm{1\; output(s);\; 1\; input(s)}\\ \mathrm{inputvariable}\=\left[\mathrm{u1}\left(s\right)\right]\\ \mathrm{outputvariable}\=\left[\mathrm{y1}\left(s\right)\right]\\ {\mathrm{tf}}_{1,1}\=\frac{1.239999998s+0.2005876254}{s}\end{array}\right.$

$\mathrm{PIDsys}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{PID}\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{system}\right)\:$

Warning, improper transfer-function, degree(num) > degree(den)

$\mathrm{PrintSystem}\left(\mathrm{PIDsys}\right)$

$\left[\begin{array}{l}\mathbf{Transfer\; Function}\\ \mathrm{continuous}\\ \mathrm{1\; output(s);\; 1\; input(s)}\\ \mathrm{inputvariable}\=\left[\mathrm{u1}\left(s\right)\right]\\ \mathrm{outputvariable}\=\left[\mathrm{y1}\left(s\right)\right]\\ {\mathrm{tf}}_{1,1}\=\frac{0.8092586561s^2+1.799999997s+0.2911755853}{s}\end{array}\right.$

$\mathrm{sys2}≔\mathrm{NewSystem}\left(\frac{a}{s^3+b{s}^2+cs+d}\right)\:$

Identify the parameters [$\mathrm{Ku}$, $\mathrm{Tu}$] of sys2

$\mathrm{Params}≔\mathrm{ParameterIdentify}:-\mathrm{FrequencyDomain}\left(\mathrm{sys2}\right)$

$\mathrm{Params}≔\left[\frac{cb-d}{a}\,\frac{2\mathrm{\pi }}{\sqrt{\left|c\right|}}\right]$

Calculate the controller parameters using the ZN (default) method

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{controller}'=P\,'\mathrm{factored}'=\mathrm{false}\right)$

$\left[\frac{cb-d}{2a}\right]$

$\mathrm{PIpars}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{\Pi }\,'\mathrm{factored}'=\mathrm{true}\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{record}\right)$

$\mathrm{PIpars}≔{\mathrm{Record}}_{\mathrm{packed}}\left(K=\frac{2\left(cb-d\right)}{5a}\,\mathrm{Ti}=\frac{8\mathrm{\pi }}{5\sqrt{\left|c\right|}}\right)$

$\mathrm{pid}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{PID}\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{record}\right)$

$\mathrm{pid}≔{\mathrm{Record}}_{\mathrm{packed}}\left(\mathrm{Kp}=\frac{3\left(cb-d\right)}{5a}\,\mathrm{Ki}=\frac{3\left(cb-d\right)\sqrt{\left|c\right|}}{5a\mathrm{\pi }}\,\mathrm{Kd}=\frac{3\left(cb-d\right)\mathrm{\pi }}{20a\sqrt{\left|c\right|}}\right)$

$\mathrm{pidsys}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{PID}\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{system}\right)\:$

Warning, improper transfer-function, degree(num) > degree(den)

$\mathrm{PrintSystem}\left(\mathrm{pidsys}\right)$

$\left[\begin{array}{l}\mathbf{Transfer\; Function}\\ \mathrm{continuous}\\ \mathrm{1\; output(s);\; 1\; input(s)}\\ \mathrm{inputvariable}\=\left[\mathrm{u1}\left(s\right)\right]\\ \mathrm{outputvariable}\=\left[\mathrm{y1}\left(s\right)\right]\\ {\mathrm{tf}}_{1,1}\=\frac{\left(3{\mathrm{\pi }}^{2}bc-3{\mathrm{\pi }}^{2}d\right)s^2+\left(12\mathrm{\pi }\sqrt{\left|c\right|}bc-12\mathrm{\pi }\sqrt{\left|c\right|}d\right)s+12\left|c\right|cb-12\left|c\right|d}{20a\mathrm{\pi }\sqrt{\left|c\right|}s}\end{array}\right.$

Calculate the controller parameters using the TL method

$\mathrm{Ppars}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=P\,'\mathrm{factored}'=\mathrm{true}\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{record}\right)$

$\mathrm{Ppars}≔{\mathrm{Record}}_{\mathrm{packed}}\left(K=\frac{2\left(cb-d\right)}{5a}\right)$

$\mathrm{PIpars}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{\Pi }\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{record}\right)$

$\mathrm{PIpars}≔{\mathrm{Record}}_{\mathrm{packed}}\left(\mathrm{Kp}=\frac{31\left(cb-d\right)}{100a}\,\mathrm{Ki}=\frac{31\left(cb-d\right)\sqrt{\left|c\right|}}{440a\mathrm{\pi }}\right)$

$\mathrm{PIsys}≔\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{\Pi }\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{system}\right)\:$

$\mathrm{PrintSystem}\left(\mathrm{PIsys}\right)$

$\left[\begin{array}{l}\mathbf{Transfer\; Function}\\ \mathrm{continuous}\\ \mathrm{1\; output(s);\; 1\; input(s)}\\ \mathrm{inputvariable}\=\left[\mathrm{u1}\left(s\right)\right]\\ \mathrm{outputvariable}\=\left[\mathrm{y1}\left(s\right)\right]\\ {\mathrm{tf}}_{1,1}\=\frac{\left(682\mathrm{\pi }bc-682\mathrm{\pi }d\right)s+155\sqrt{\left|c\right|}cb-155\sqrt{\left|c\right|}d}{2200a\mathrm{\pi }s}\end{array}\right.$

$\mathrm{ZNFreq}\left(\mathrm{Params}\left[1\right]\,\mathrm{Params}\left[2\right]\,'\mathrm{method}'=\mathrm{TL}\,'\mathrm{controller}'=\mathrm{PID}\,'\mathrm{factored}'=\mathrm{true}\,'\mathrm{returntype}'=\mathrm{list}\right)$

$\left[\frac{9\left(cb-d\right)}{20a}\,\frac{22\mathrm{\pi }}{5\sqrt{\left|c\right|}}\,\frac{8\mathrm{\pi }}{25\sqrt{\left|c\right|}}\right]$