Let g be a Lie algebra. A grading of g is a (vector space) direct sum decomposition g =$\underset{k \in \mathrm{\ℤ}}{\overset{}{ ⨁ }}$${\mathrm{\𝔤}}_k$where $\left[{\mathrm{\𝔤}}_k \, {\mathrm{\𝔤}}_l \right] \subseteq {\mathrm{\𝔤}}_{k \+l} \.$Gradings of semi-simple Lie algebras can easily be constructed from the root space decomposition. Let h be a Cartan subalgebra and $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\=}\mathit{ }\mathrm{\𝔥}\mathit{ }\underset{\mathrm{\α} \in \mathrm{\Δ}}{\overset{}{⨁}}{R}_{\mathrm{\α}}$ the associated root space decomposition Let ${\mathrm{\Δ}}^{\+}$be a choice of positive roots and let ${\mathrm{\Δ}}^0 \subseteq {\mathrm{\Δ}}^{\+}$be a set of simple roots. Every root α is a sum of simple roots, say ${\mathrm{\α}}_{} \= {\mathrm{\Σ}}_{i\=1}^m a_i {\mathrm{\α}}_i \,$and one defines the height of the root ${\mathrm{\α}}_{}$as ht$\left(\mathrm{\α}\right) \= {\mathrm{\Sigma }}_{i\=1}^m a_i$.

Now let $\mathrm{\Σ}\subseteq {\mathrm{\Δ}}^0$be a collection of simple roots and define the Σ height of ${\mathrm{\α}}_{}$as ht ${}_{\mathrm{\Σ}}$$\left(\mathrm{\α}\right) \= {\mathrm{\Sigma }}_i^{} a_i \,$where the sum is taken over those $i$such that $\mathrm{\α}\in {\mathrm{\Σ}}_{ }$. Then the subspaces

For real Lie algebras, real gradings can be similarly constructed using the restricted root space decomposition.

The command Query/"Gradation" will test if a given decomposition of a Lie algebra is graded.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''sl(4)''\,\mathrm{sl4}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left[E\,\mathrm{\omega }\right]\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl4}$

$P≔\mathrm{SimpleLieAlgebraProperties}\left(\mathrm{sl4}\right)\:$

$T≔\mathrm{SimpleLieAlgebraProperties}\left(\mathrm{sl4}\right)\:$

$\mathrm{SR}≔T\left[''SimpleRoots''\right]$

$\mathrm{\Sigma }≔\left[\left[\right]\,\mathrm{SR}\left[1..1\right]\,\mathrm{SR}\left[2..2\right]\,\mathrm{SR}\left[3..3\right]\,\mathrm{SR}\left[1..2\right]\,\mathrm{SR}\left[2..3\right]\,\left[\mathrm{SR}\left[1\right]\,\mathrm{SR}\left[3\right]\right]\,\mathrm{SR}\right]$

$\mathrm{\Sigma }\left[1\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[1\right]\,P\right)$

$\left[\right]\,\mathrm{table}\left(\left[0\=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E33}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E34}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E24}\,\mathrm{E14}\,\mathrm{E21}\,\mathrm{E32}\,\mathrm{E43}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E42}\,\mathrm{E41}\right]\right]\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[2\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[2\right]\,P\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[3\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[3\right]\,P\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[4\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[4\right]\,P\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[5\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[5\right]\,P\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[6\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[6\right]\,P\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[7\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[7\right]\,P\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[8\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[8\right]\,P\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[2\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[2\right]\,P\right)$

$\mathrm{G7}≔\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[7\right]\,P\right)$

$\mathrm{G7}:=\mathrm{table}\left(\left[0\=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E33}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E32}\right]\,1\=\left[\mathrm{E12}\,\mathrm{E34}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E24}\right]\,2\=\left[\mathrm{E14}\right]\,-2\=\left[\mathrm{E41}\right]\,-1\=\left[\mathrm{E21}\,\mathrm{E43}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E42}\right]\right]\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{G7}\,''Gradation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{LD2}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''so(5,3)''\,\mathrm{so53}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left[R\,\mathrm{\theta }\right]\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so53}$

$T≔\mathrm{SimpleLieAlgebraProperties}\left(\mathrm{so53}\right)\:$

$\mathrm{RSR}≔T\left[''RestrictedSimpleRoots''\right]$

$\mathrm{\Sigma }≔\left[\mathrm{RSR}\,\mathrm{RSR}\left[1..2\right]\,\mathrm{RSR}\left[2..3\right]\,\left[\mathrm{RSR}\left[1\right]\,\mathrm{RSR}\left[3\right]\right]\,\mathrm{RSR}\left[1..1\right]\,\mathrm{RSR}\left[2..2\right]\,\mathrm{RSR}\left[3..3\right]\,\left[\right]\right]$

$\mathrm{\Sigma }\left[1\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[1\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[2\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[2\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[3\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[3\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[4\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[4\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[5\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[5\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[6\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[6\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[7\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[7\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{\Sigma }\left[8\right],\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[8\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\left[\right]\,\mathrm{table}\left(\left[0\=\left[\mathrm{R78}\,\mathrm{R33}\,\mathrm{R22}\,\mathrm{R11}\,\mathrm{R16}\,\mathrm{R13}\,\mathrm{R17}\,\mathrm{R18}\,\mathrm{R26}\,\mathrm{R27}\,\mathrm{R28}\,\mathrm{R12}\,\mathrm{R23}\,\mathrm{R15}\,\mathrm{R37}\,\mathrm{R38}\,\mathrm{R43}\,\mathrm{R31}\,\mathrm{R47}\,\mathrm{R48}\,\mathrm{R53}\,\mathrm{R57}\,\mathrm{R58}\,\mathrm{R21}\,\mathrm{R32}\,\mathrm{R42}\,\mathrm{R67}\,\mathrm{R68}\right]\right]\right)$

$\mathrm{G1}≔\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Sigma }\left[1\right]\,T\,\mathrm{method}=''non-compact''\right)$

$\mathrm{G1}:=\mathrm{table}\left(\left[0\=\left[\mathrm{R78}\,\mathrm{R33}\,\mathrm{R22}\,\mathrm{R11}\right]\,1\=\left[\mathrm{R12}\,\mathrm{R23}\,\mathrm{R37}\,\mathrm{R38}\right]\,2\=\left[\mathrm{R13}\,\mathrm{R27}\,\mathrm{R28}\right]\,3\=\left[\mathrm{R17}\,\mathrm{R18}\,\mathrm{R26}\right]\,5\=\left[\mathrm{R15}\right]\,4\=\left[\mathrm{R16}\right]\,-5\=\left[\mathrm{R42}\right]\,-4\=\left[\mathrm{R43}\right]\,-3\=\left[\mathrm{R47}\,\mathrm{R48}\,\mathrm{R53}\right]\,-2\=\left[\mathrm{R31}\,\mathrm{R57}\,\mathrm{R58}\right]\,-1\=\left[\mathrm{R21}\,\mathrm{R32}\,\mathrm{R67}\,\mathrm{R68}\right]\right]\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{G1}\,''Gradation''\right)$

$\mathrm{true}$