Let $\mathrm{\𝔤}$ be a semi-simple Lie algebra and let $V$ be a representation space for $\mathrm{\𝔤}$. Fix a grading of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$:

 Now let ${\mathrm{\Λ}}^p\left({\mathrm{\𝔤}}_{-}\, V\right)$denote the space of $p$-forms on ${\mathrm{\𝔤}}_{-}$with coefficients in $V$. If $\mathrm{\ω} \in {\mathrm{\Λ}}^p\left({\mathrm{\𝔤}}_{-}\, V\right)$and $X_1$, ...$\, X_p$are vectors in ${𝔤}_{-}$, then $\mathrm{\ω} \left(X_1\, ..\.\, X_p\right) \in V$. The spaces ${\mathrm{\Λ}}^p\left({\mathrm{\𝔤}}_{-}\, V\right)$can be constructed using the command DGsetup and RelativeChains. The exterior derivative defines a mapping $d \:{\mathrm{\Λ}}^p\left({\mathrm{\𝔤}}_{-}\, V\right) \to {\mathrm{\Lambda }}^{p\+1}\left({𝔤}_{-}\, V\right)$while the Kostant co-differential is a map $d^{\*}\:{\mathrm{\Λ}}^p\left({\mathrm{\𝔤}}_{-}\, V\right) \to {\mathrm{\Lambda }}^{p-1}\left({𝔤}_{-}\, V\right)$.

The Kostant co-differential is easily defined in terms of the general Codifferential$$operator$\partial$. Let $\mathrm{\α} \in {\mathrm{\Λ}}^p\left({𝔤}_{-}\, V\right)$ and let $X\={\mathrm{\α}}^{\+}$be the degree $p$ multi-vector obtained by raising the indices of the form $\mathrm{\α}$using the inverse of the Killing metric for $\mathrm{\𝔤}$. Take the co-differential of $X$ to obtain the multi-vector $\partial$X of degree $p-1$ and use the Killing form to lower the indices of $\partial$X to obtain a form. This is the Kostant co-differential of $\mathrm{\α}\,$that is,

The command PositiveDefiniteMetricOnRepresentationSpace can be to used to construct positive definite inner products on $\mathrm{\𝔤}$ and on $V$such that the Kostant co-differential is the adjoint of the exterior derivative operator with respect to the induced inner product $⟨\cdot \, \cdot ⟩$on ${\mathrm{\Lambda }}^p\left({𝔤}_{-}\, V\right)$, that is,

The Kostant Laplacian is the map $\mathrm{\Δ}\:{\mathrm{\Λ}}^p\left({\mathrm{\𝔤}}_{-}\, V\right) \to {\mathrm{\Lambda }}^p\left({𝔤}_{-}\, V\right)$defined by

The Kostant co-differential and Kostant Laplacian are very useful for the explicit calculation of the Lie algebra cohomology of the complex ${\mathrm{\Lambda }}^p\left({𝔤}_{-}\, V\right)$as

The optional arguments (Killing form and inverse Killing form) for KostantCodifferential and KostantLaplacian dramatically improve the computational efficiency of these commands.

The formula for the Kostant Laplacian in terms of the Lie derivative is as follows. First pick a basis ${\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{\𝓁}}$for $\mathrm{\𝔤}$ which is adapted to the decomposition $\mathrm{\𝔤} \= {\mathrm{\𝔤}}_{-} \oplus \mathrm{\𝔭}$. Let ${\mathrm{\η}}_k$ be the dual basis for defined with respect to the Killing form $B$, that is, $B\($${\mathrm{\η}}_k$ , ${\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{\𝓁}} \)\={\mathrm{\δ}}_{k \mathrm{\𝓁}}$. . Then

$\mathrm{restart}\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

 Use the command SimpleLieAlgebraData and DGsetup to initialize a simple Lie algebra $\mathrm{\𝔤}$. $$

 Use the command SimpleLieAlgebraProperties to retrieve the simple roots of $\mathrm{\𝔤}$ . Use the command GradeSemiSimpleAlgebra to construct a gradation of $\mathrm{\𝔤}$.

 Initialize the Lie algebras ${𝔤}_{}$ and ${\mathrm{\𝔤}}_{-}$.

 Use the commands StandardRepresentation, Adjoint, Representation etc. to make a representation $V$of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$. Use the RestrictedRepresentation command to restrict the representation of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$on $V$ to ${\mathrm{\𝔤}}_{-}$

 Initialize the Lie algebra of ${𝔤}_{}$ with coefficients in $V$. Initialize the Lie algebra of ${{\mathrm{\𝔤}}_{-}}_{}$ with coefficients in$V$.

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''sp(4,\; R)''\,\mathrm{alg}\right)$

$\mathrm{LD}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]=\mathrm{e1}-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]=-2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]=2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]=2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]=-2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]=\mathrm{e1}+\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e10}\right]=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\,\left[U\right]\,\left[\mathrm{\υ}\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg}$

$\mathrm{Properties}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraProperties}\left(\mathrm{alg}\right)\:$

$\mathrm{\Δ0}≔{\mathrm{Properties}}_{''SimpleRoots''}$

$\mathrm{\Δ0}≔\left[\left[\begin{array}{c}1\\ \mathrm{-1}\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]\right]$

$G≔\mathrm{GradeSemiSimpleLieAlgebra}\left(\mathrm{\Δ0}\,\mathrm{Properties}\right)$

$G≔table\left(\left[\mathrm{-1}=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[10\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[10\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]\,0=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]\,\mathrm{-2}=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[9\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[9\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]\,1=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[7\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[7\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]\,\mathrm{-3}=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[8\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[8\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]\,2=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]\,3=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[5\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[5\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]\right]\right)$

$\mathrm{LD1}\,\mathrm{LD2}\,\mathrm{B1}\,\mathrm{B2}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(G\,\mathrm{sp4}\,''negative''\,N\,\mathrm{output}\=''basis''\right)$

$\mathrm{LD1},\mathrm{LD2},\mathrm{B1},\mathrm{B2}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]=-\mathrm{e6}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e10}\right]=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]=\mathrm{e6}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]=2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]=2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]=2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]=2\mathrm{e10}\right],\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]=-\mathrm{e2}\right],\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[8\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[8\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[9\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[9\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[10\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[10\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[7\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[7\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[5\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[5\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right],\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[8\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[8\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[9\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[9\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[10\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{alg}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[10\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD1}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sp4}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; N}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\,\mathrm{x5}\,\mathrm{x6}\,\mathrm{x7}\,\mathrm{x8}\,\mathrm{x9}\,\mathrm{x10}\right]\,V\,\mathrm{grading}\=\left[-3\,-2\,-1\,-1\,0\,0\,1\,1\,2\,3\right]\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

$\mathrm{\ρ1}≔\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{sp4}\,\mathrm{representationspace}\=V\right)$

$\mathrm{\ρ1}≔$

$\mathrm{\ρ2}≔\mathrm{RestrictedRepresentation}\left(\mathrm{\ρ1}\,N\right)$

$\mathrm{\ρ2}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''Representation''\,\left[\left[N\,0\right]\,\left[V\,0\right]\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccccccccc}0& \mathrm{-2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& \mathrm{-1}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''Representation''\,\left[\left[N\,0\right]\,\left[V\,0\right]\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccccccccc}0& \mathrm{-2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& \mathrm{-1}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{\ρ1}\,\mathrm{sp4V}\,\left[\'X\'\right]\,\left[\'\mathrm{\ξ}\'\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra\; with\; coefficients:\; sp4V}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{NV}\,\left[\'\mathrm{O}\'\right]\,\left[\'o\'\right]\,\mathrm{ambientalgebra}\=\mathrm{sp4V}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra\; with\; coefficients:\; NV}$

$\mathrm{\α}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{x1}\mathrm{o2}\right)$

$\mathrm{\alpha }≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,1\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,\mathrm{x1}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,1\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,\mathrm{x1}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{KostantCodifferential}\left(\mathrm{\α}\right)$

$\frac{\mathrm{x3}}{12}$

$\mathrm{\β}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{x3}\mathrm{o2}\&w\mathrm{o3}\right)$

$\mathrm{\beta }≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,2\right]\,\left[\left[\left[2\,3\right]\,\mathrm{x3}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,2\right]\,\left[\left[\left[2\,3\right]\,\mathrm{x3}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{KostantCodifferential}\left(\mathrm{\β}\right)$

$\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{12}\right]\,\left[\left[2\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{12}+\frac{\mathrm{x6}}{12}\right]\,\left[\left[3\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{6}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{12}\right]\,\left[\left[2\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{12}+\frac{\mathrm{x6}}{12}\right]\,\left[\left[3\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{6}\right]\right]\right]\right)$

$B≔\mathrm{KillingForm}\left(\mathrm{sp4V}\right)$

$B≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,10\right]\,6\right]\,\left[\left[2\,9\right]\,12\right]\,\left[\left[3\,7\right]\,12\right]\,\left[\left[4\,8\right]\,6\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,12\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,12\right]\,\left[\left[7\,3\right]\,12\right]\,\left[\left[8\,4\right]\,6\right]\,\left[\left[9\,2\right]\,12\right]\,\left[\left[10\,1\right]\,6\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,10\right]\,6\right]\,\left[\left[2\,9\right]\,12\right]\,\left[\left[3\,7\right]\,12\right]\,\left[\left[4\,8\right]\,6\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,12\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,12\right]\,\left[\left[7\,3\right]\,12\right]\,\left[\left[8\,4\right]\,6\right]\,\left[\left[9\,2\right]\,12\right]\,\left[\left[10\,1\right]\,6\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{invB}≔\mathrm{InverseMetric}\left(B\right)$

$\mathrm{invB}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,10\right]\,\frac{1}{6}\right]\,\left[\left[2\,9\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[3\,7\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[4\,8\right]\,\frac{1}{6}\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[7\,3\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[8\,4\right]\,\frac{1}{6}\right]\,\left[\left[9\,2\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[10\,1\right]\,\frac{1}{6}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,10\right]\,\frac{1}{6}\right]\,\left[\left[2\,9\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[3\,7\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[4\,8\right]\,\frac{1}{6}\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[7\,3\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[8\,4\right]\,\frac{1}{6}\right]\,\left[\left[9\,2\right]\,\frac{1}{12}\right]\,\left[\left[10\,1\right]\,\frac{1}{6}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\β1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{x3}\mathrm{\ξ2}\&w\mathrm{\ξ3}\right)$

$\mathrm{\β1}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{sp4V}\,2\right]\,\left[\left[\left[2\,3\right]\,\mathrm{x3}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{sp4V}\,2\right]\,\left[\left[\left[2\,3\right]\,\mathrm{x3}\right]\right]\right]\right)$

$X≔\mathrm{RaiseLowerIndices}\left(\mathrm{invB}\,\mathrm{\β1}\,\left[1\,2\right]\right)$

$X≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''multivector''\,\mathrm{sp4V}\,2\right]\,\left[\left[\left[7\,9\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{144}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''multivector''\,\mathrm{sp4V}\,2\right]\,\left[\left[\left[7\,9\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{144}\right]\right]\right]\right)$

$Y≔\mathrm{Codifferential}\left(X\right)$

$Y≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[7\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{72}\right]\,\left[\left[9\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{144}+\frac{\mathrm{x6}}{144}\right]\,\left[\left[10\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{72}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[7\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{72}\right]\,\left[\left[9\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{144}+\frac{\mathrm{x6}}{144}\right]\,\left[\left[10\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{72}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{RaiseLowerIndices}\left(B\,Y\,\left[1\right]\right)$

$\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\left[''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{12}\right]\,\left[\left[2\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{12}+\frac{\mathrm{x6}}{12}\right]\,\left[\left[3\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{6}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{sp4V}\,\left[\left[''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{12}\right]\,\left[\left[2\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{12}+\frac{\mathrm{x6}}{12}\right]\,\left[\left[3\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{6}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\α2}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{x3}\left(\mathrm{o1}\&w\mathrm{o2}\right)\&w\mathrm{o3}\right)$

$\mathrm{\α2}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,3\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,3\right]\,\mathrm{x3}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,3\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,3\right]\,\mathrm{x3}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\β2}≔\mathrm{KostantCodifferential}\left(\mathrm{\β}\right)$

$\mathrm{\β2}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{12}\right]\,\left[\left[2\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{12}+\frac{\mathrm{x6}}{12}\right]\,\left[\left[3\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{6}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{NV}\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,-\frac{\mathrm{x3}}{12}\right]\,\left[\left[2\right]\,-\frac{\mathrm{x5}}{12}+\frac{\mathrm{x6}}{12}\right]\,\left[\left[3\right]\,-\frac{\mathrm{x8}}{6}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{KostantCodifferential}\left(\mathrm{\β2}\right)$

$0$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(6\mathrm{o1}\&t\mathrm{o1}\+12\mathrm{o2}\&t\mathrm{o2}\+12\mathrm{o3}\&t\mathrm{o3}\+6\mathrm{o4}\&t\mathrm{o4}\right)$