A collection of subalgebras $S_1 \,S_2\, ..\.$ of a Lie algebra $\mathrm{\𝔤}$ defines a direct sum decomposition of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$ if  $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\=}\mathit{ }{S}_1\oplus S_2 \oplus \cdot \cdot \cdot$(vector space direct sum)  and $\left[S_i\, S_j\right] \= 0$ for $i\ne j\.$

Query(Alg, "Indecomposable") returns false if the Lie algebra Alg is decomposable as a direct sum of Lie algebras over the real numbers, otherwise true is returned.

Query(Alg, "AbsolutelyIndecomposable") returns false if the Lie algebra Alg is decomposable as a direct sum of Lie algebras over the complex numbers, otherwise true is returned.

The command Query is part of the DifferentialGeometry:-LieAlgebras package.  It can be used in the form Query(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(LieAlgebras), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-LieAlgebras:-Query(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{L1}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg1}\,\left[4\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L1}\right)\:$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\mathrm{e1}+\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}+\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\right]\,\mathrm{Alg2}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\+2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}-\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\right)\:$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Alg1}\,''Indecomposable''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Alg2}\,''Indecomposable''\right)$

$\mathrm{false}$

$L≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg3}\,\left[4\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,3\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,4\,2\right]\,-1\right]\,\left[\left[2\,3\,2\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{Query}\left(L\,''Indecomposable''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(L\,''AbsolutelyIndecomposable''\right)$

$\mathrm{false}$