The complex components:

$\mathrm{FunctionAdvisor}\left(\mathrm{identities}\,\mathrm{argument}\right)$

$\left[\arg \left(z\right)=\mathrm{-I}\ln \left(\frac{z}{\left|z\right|}\right)\&comma;\arg \left(z\right)=\mathrm{-I}\ln \left(\mathrm{signum}\left(z\right)\right)\&comma;\arg \left(z\right)=\arctan \left(\mathrm{\Im }\left(z\right)\&comma;\mathrm{\Re }\left(z\right)\right)\&comma;\left[\arg \left(za\right)=\arg \left(z\right)\&comma;0<a\right]\&comma;\arg \left(za\right)=\arg \left(z\right)+\arg \left(a\right)+2\mathrm{\pi }⌊\frac{1}{2}-\frac{\arg \left(z\right)}{2\mathrm{\pi }}-\frac{\arg \left(a\right)}{2\mathrm{\pi }}⌋\&comma;\arg \left(\frac{z}{a}\right)=\arg \left(z\right)-\arg \left(a\right)+2\mathrm{\pi }⌊\frac{1}{2}-\frac{\arg \left(z\right)}{2\mathrm{\pi }}+\frac{\arg \left(a\right)}{2\mathrm{\pi }}⌋\&comma;\left[\arg \left(z^a\right)=a\arg \left(z\right)\&comma;\mathrm{And}\left(a::\mathrm{real}\&comma;-\mathrm{\pi }<a\arg \left(z\right)\&comma;a\arg \left(z\right)<\mathrm{\pi }\right)\right]\&comma;\left[\arg \left(z^a\right)=\arg \left({\&ExponentialE;}^{\mathrm{I}a\arg \left(z\right)}\right)\&comma;a::\mathrm{real}\right]\&comma;\arg \left(z^a\right)=\arctan \left(\sin \left(\arctan \left(\mathrm{\Im }\left(z\right)\&comma;\mathrm{\Re }\left(z\right)\right)\mathrm{\Re }\left(a\right)+\mathrm{\Im }\left(a\right)\ln \left(\left|z\right|\right)\right)\&comma;\cos \left(\arctan \left(\mathrm{\Im }\left(z\right)\&comma;\mathrm{\Re }\left(z\right)\right)\mathrm{\Re }\left(a\right)+\mathrm{\Im }\left(a\right)\ln \left(\left|z\right|\right)\right)\right)\right]$

$\mathrm{FunctionAdvisor}\left(\mathrm{identities}\&comma;\mathrm{Re}\right)$

$\left[\mathrm{\Re }\left(\mathrm{I}z\right)=-\mathrm{\Im }\left(z\right)\&comma;\mathrm{\Re }\left(z\right)=\frac{z\left(1+\frac{1}{{\&ExponentialE;}^{2\mathrm{I}\arg \left(z\right)}}\right)}{2}\&comma;\mathrm{\Re }\left(z\right)=\frac{z\left(1+\frac{1}{{\mathrm{signum}\left(z\right)}^2}\right)}{2}\&comma;\mathrm{\Re }\left(z\right)=\frac{z}{2}+\frac{{\left|z\right|}^2}{2z}\&comma;\mathrm{\Re }\left(z\right)=\frac{z}{2}+\frac{\stackrel{\&conjugate0;}{z}}{2}\&comma;\left[\mathrm{\Re }\left(za\right)=a\mathrm{\Re }\left(z\right)\&comma;a::\mathrm{real}\right]\&comma;\mathrm{\Re }\left(za\right)=\mathrm{\Re }\left(z\right)\mathrm{\Re }\left(a\right)-\mathrm{\Im }\left(a\right)\mathrm{\Im }\left(z\right)\&comma;\mathrm{\Re }\left(\frac{z}{a}\right)=\frac{\mathrm{\Re }\left(z\right)\mathrm{\Re }\left(a\right)+\mathrm{\Im }\left(a\right)\mathrm{\Im }\left(z\right)}{{\left|a\right|}^2}\&comma;\mathrm{\Re }\left(z^a\right)={\left|z\right|}^{\mathrm{\Re }\left(a\right)}{\&ExponentialE;}^{-\arg \left(z\right)\mathrm{\Im }\left(a\right)}\cos \left(\arg \left(z\right)\mathrm{\Re }\left(a\right)+\mathrm{\Im }\left(a\right)\ln \left(\left|z\right|\right)\right)\right]$

The Jacobi elliptic functions:

$\mathrm{FunctionAdvisor}\left(\mathrm{identities}\&comma;\mathrm{JacobiAM}\right)$