Let $\mathrm{\𝔤}$ be a Lie algebra and let $\mathrm{\φ} \: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$be a derivation on $\mathrm{\𝔤}$. Then the right extension of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$by $\mathrm{\φ}$is the Lie algebra $k \= \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\+}\mathit{ }\mathrm{\ℝ}$ with Lie bracket

Let $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$be a Lie algebra and let $\mathrm{\β}$ be a closed 2-form on $\mathrm{\𝔤}$. Then the central extension of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$by $\mathrm{\β}$ is the Lie algebra $k \= \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\+}\mathit{ }\mathrm{\ℝ}$ with Lie bracket

Extension computes a right extension when its second argument is a matrix and a central extension when the second argument is a 2-form. The procedure returns the Lie algebra data structure for the extended algebra. The structure equations for the extension are displayed.

The command Extension is part of the DifferentialGeometry:-LieAlgebras package. It can be used in the form Extension(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(LieAlgebras), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-LieAlgebras:-Extension(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{L1}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg1}\,\left[4\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,4\,1\right]\,2\right]\,\left[\left[2\,3\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,4\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L1}\right)\:$

$\mathrm{A1}≔\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{e1}-\mathrm{e2}+2\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\right)\;$$\mathrm{A2}≔\mathrm{Derivations}\left(''Outer''\right)\left[1\right]$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{Extension}\left(\mathrm{Alg1}\,\mathrm{A1}\,\mathrm{Alg2}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-2\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\+2\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg2}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Alg2}\,''Indecomposable''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{L3}≔\mathrm{Extension}\left(\mathrm{Alg1}\,\mathrm{A2}\,\mathrm{Alg3}\right)$

$\mathrm{L3}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L3}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg3}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Alg3}\,''Indecomposable''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{L4}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg4}\,\left[4\right]\right]\,\left[\left[\left[2\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L4}:=\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L4}\right)\:$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(\mathrm{Alg4}\,''ExteriorDerivative''\right)$

$d\left(\mathrm{\θ1}\right)\=-\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ4}$

$d\left(\mathrm{\θ2}\right)\=0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}$

$d\left(\mathrm{\θ3}\right)\=-\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ4}$

$d\left(\mathrm{\θ4}\right)\=0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}$

$\mathrm{\β1}≔\mathrm{\θ2}\&wedge\mathrm{\θ4}\;$$\mathrm{\β2}≔\mathrm{\θ1}\&wedge\mathrm{\θ4}$

$\mathrm{\β1}:=\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ4}$

$\mathrm{\β2}:=\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ4}$

$\mathrm{ExteriorDerivative}\left(\mathrm{\β1}\right),\mathrm{ExteriorDerivative}\left(\mathrm{\β2}\right)$

$0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}$

$\mathrm{L5}≔\mathrm{Extension}\left(\mathrm{Alg4}\,\mathrm{\β1}\,\mathrm{Alg5}\right)$

$\mathrm{L5}:=\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L5}\right)\:$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Alg4}\,''Indecomposable''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{L6}≔\mathrm{Extension}\left(\mathrm{Alg4}\,\mathrm{\β2}\,\mathrm{Alg6}\right)$

$\mathrm{L6}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L6}\right)\:$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Alg6}\,''Indecomposable''\right)$

$\mathrm{true}$