Let  $L\:\mathrm{𝒜}\mathit{ }\mathit{\to }ℬ\mathit{ }$ be a linear transformation. The null space of $L$is $N\left(L\right) \= \{a \in \mathrm{\𝒜}\mathit{ }\mathit{\|}\mathit{ }L\left(a\right) \= 0\}$. The image space of $L$is $\mathrm{Im}\left(L\right)\mathit{ }\mathit{\=}\mathit{ }\mathit{\{}b\mathit{ }\mathit{\in }\mathit{ }\mathrm{\ℬ} \mathit{\|} b \= L\left(a\right)$ for some $a \in \mathrm{\𝒜}\mathit{\}}$.

The command DGNullSpace(L, A) returns a list of elements of $\mathrm{𝒜}$ which define a basis for the null space of $L\.$ The command DGImageSpace(L, A) returns a list of elements of $\mathrm{\ℬ}$ which define a basis for the image space of $L\.$

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,V\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

$A≔\left[\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx3}\,\mathrm{dx4}\right]$

$A≔\left[\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx3}\,\mathrm{dx4}\right]$

$\mathrm{\alpha }≔\mathrm{dx1}$

$\mathrm{\alpha }≔\mathrm{dx1}$

$L≔\mathrm{\beta }\mapsto \mathrm{\alpha }\&wedge\mathrm{\beta }$

$L≔\mathrm{\beta }\mapsto \mathrm{DifferentialGeometry}:-\mathrm{\&wedge}\left(\mathrm{\alpha }\,\mathrm{\beta }\right)$

$\mathrm{DGNullSpace}\left(L\,A\right)$

$\left[\mathrm{dx1}\right]$

$\mathrm{DGImageSpace}\left(L\,A\right)$

$\left[\mathrm{dx1}\bigwedge \mathrm{dx2}\,\mathrm{dx1}\bigwedge \mathrm{dx3}\,\mathrm{dx1}\bigwedge \mathrm{dx4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\right]\,V\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

$L≔T\mapsto \mathrm{SymmetrizeIndices}\left(T\,\left[1\,2\right]\,''Symmetric''\right)$

$L≔T\mapsto \mathrm{Tensor}:-\mathrm{SymmetrizeIndices}\left(T\,\left[1\,2\right]\,''Symmetric''\right)$

$A≔\mathrm{GenerateTensors}\left(\left[\left[\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx3}\right]\,\left[\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx3}\right]\right]\right)$

$A≔\left[\mathrm{dx1}\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx1}\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx1}\mathrm{dx3}\,\mathrm{dx2}\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx2}\mathrm{dx3}\,\mathrm{dx3}\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx3}\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx3}\mathrm{dx3}\right]$

$\mathrm{DGNullSpace}\left(L\,A\right)$

$\left[\mathrm{dx1}\mathrm{dx2}-\mathrm{dx2}\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx1}\mathrm{dx3}-\mathrm{dx3}\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\mathrm{dx3}-\mathrm{dx3}\mathrm{dx2}\right]$

$\mathrm{DGImageSpace}\left(L\,A\right)$

$\left[\mathrm{dx1}\mathrm{dx1}\,\frac{\mathrm{dx1}}{2}\mathrm{dx2}+\frac{\mathrm{dx2}}{2}\mathrm{dx1}\,\frac{\mathrm{dx1}}{2}\mathrm{dx3}+\frac{\mathrm{dx3}}{2}\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\mathrm{dx2}\,\frac{\mathrm{dx2}}{2}\mathrm{dx3}+\frac{\mathrm{dx3}}{2}\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx3}\mathrm{dx3}\right]$