Let $\mathrm{\𝔤}$ be a Lie algebra and let ${\mathrm{\ρ}}_i \: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }{V}_i\mathit{ }$, $i \= 1\, 2\, ..\.\, p$be a sequence of representations of $\mathrm{\𝔤}$. Then the direct sum representation of the representations$$$\left\{{\mathrm{\ρ}}_i\right\}$is the representation $\mathrm{\σ} \: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }W$, where $W \= V_1\oplus V_2 \oplus \cdot \cdot \cdot \oplus V_p$ and

The command DirectSumOfRepresentations(R, W) returns the representation $\mathrm{\σ}$.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\right]\,\mathrm{V1}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{y1}\,\mathrm{y2}\,\mathrm{y2}\right]\,\mathrm{V2}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{z3}\,\mathrm{z4}\,\mathrm{z5}\right]\,\mathrm{W1}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{z3}\,\mathrm{z4}\,\mathrm{z5}\,\mathrm{z6}\right]\,\mathrm{W2}\right)\:$

$\mathrm{M1}≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,-1\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[1\,0\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{M1}:=\left[\left[\begin{array}{rr}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{rr}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\right]$

$L≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{M1}\,\mathrm{sl2}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl2}$

$\mathrm{\ρ1}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{sl2}\,\mathrm{V1}\,\mathrm{M1}\right)$

$\mathrm{\ρ1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\left[\begin{array}{rr}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\left[\begin{array}{rr}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\right]\right]$

$\mathrm{\ρ2}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{sl2}\,\mathrm{V2}\,\mathrm{Adjoint}\left(\right)\right)$

$\mathrm{\ρ2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\left[\begin{array}{rrr}0& -2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\left[\begin{array}{rrr}2& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\left[\begin{array}{rrr}0& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right]\right]\right]$

$\mathrm{\φ1}≔\mathrm{DirectSumOfRepresentations}\left(\left[\mathrm{\ρ1}\,\mathrm{\ρ2}\right]\,\mathrm{W1}\right)$

$\mathrm{\φ1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\left[\begin{array}{rrrrr}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\left[\begin{array}{rrrrr}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -2\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\left[\begin{array}{rrrrr}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 0\end{array}\right]\right]\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\φ1}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{\φ2}≔\mathrm{DirectSumOfRepresentations}\left(\left[\mathrm{\ρ1}\,\mathrm{\ρ1}\,\mathrm{\ρ1}\right]\,\mathrm{W2}\right)$

$\mathrm{\φ2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\left[\begin{array}{rrrrrr}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\left[\begin{array}{rrrrrr}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -1\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\left[\begin{array}{rrrrrr}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\right]\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\φ2}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$