IsZeroDimensional コマンドは変数集合 X に関する多項式集合 J が係数体の代数閉体上で有限個の解しか持たないかを判定します。例えば、標数を 0 としたとき、このコマンドでは複素数体上で解が有限個かどうかを判定できます。全てのドメインで、この判定は HilbertDimension が 0 かどうかの判定と一致します。

その系の変数はオプションとして第 2 引数 X を指定することによって特定することができます。もし X が 単項式順序の短い記述 であったときは J の X に関する Groebner 基底が計算されます。特に指定がないとき X は、J が多項式のリストか集合であったときは出てくる全ての不定元のうち RootOf や根号の中に入っていないものとし、また、J がイデアルであった時は PolynomialIdeals[IdealInfo][Variables](J) として計算されます。

オプションの引数で characteristic=p を指定したとき J が多項式のリストか集合であった時は環の標数を p とします。このオプションは J が PolynomialIdeal であった時か、X が MonomialOrder であった時は無視されます。

IsZeroDimensional で用いられている実際の計算は、各変数のべきが、J の Groebner 基底の頭単項式として現れているか判定することによってなされます。(自作のプログラムの一部として) この機能に直接使うためには J を頭単項式の集合とします。IsZeroDimensional コマンドはそのような場合を検知し、計算にかかる無駄を最小限に抑えます。

is_finite コマンドは同じ働きをしますが、今後リリースされる Maple ではサポートされない可能性がありますのでご注意ください。

with(Groebner):

F := [x^2-2*x*z+5, x*y^2+y*z^3, 3*y^2-8*z^3];

IsZeroDimensional(F);

LeadingMonomial(Basis(F, tdeg(x,y,z)), tdeg(x,y,z));

IsZeroDimensional(F, characteristic=2);

LeadingMonomial(Basis(F, tdeg(x,y,z), characteristic=2), tdeg(x,y,z));

IsZeroDimensional(F[1..2]);

HilbertDimension(F[1..2]);

IsZeroDimensional(F[1..2], {x,y});

with(PolynomialIdeals):

J := <F>;

NumberOfSolutions(J);

NormalSet(J, tdeg(x,y,z))[1];  # compute a basis for the quotient as a vector space