compute the right or left quotient of two Ore polynomials

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OreTools[Quotient] - compute the right or left quotient of two Ore polynomials

OreTools[Remainder] - compute the right or left remainder of two Ore polynomials

	Calling Sequence
	Quotient['right'](Poly1, Poly2, A, 'R') Quotient(Poly1, Poly2, A, 'R') Quotient['left'](Poly1, Poly2, A, 'R') Remainder['right'](Poly1, Poly2, A, 'Q') Remainder(Poly1, Poly2, A, 'Q') Remainder['left'](Poly1, Poly2, A, 'Q')

Parameters

Poly1	-	Ore polynomial; to define an Ore polynomial, use the OrePoly structure.
Poly2	-	nonzero Ore polynomial; to define an Ore polynomial, use the OrePoly structure.
A	-	Ore algebra; to define an Ore algebra, use the SetOreRing function.
Q, R	-	(optional) unevaluated names.

Description

•	The Quotient['right'](Poly1, Poly2, A) or Quotient(Poly1, Poly2, A) calling sequence returns the right quotient Q of Poly1 and Poly2 such that:

where the degree of the right remainder R is less than that of Poly2.

If the fourth argument 'R' is specified, it is assigned the right remainder defined above.

•	The Quotient['left'](Poly1, Poly2, A) calling sequence returns the right quotient Q of Poly1 and Poly2 such that:

where the degree of the left remainder R is less than that of Poly2.

If the fourth argument 'R' is specified, it is assigned the left remainder defined above.

•	The Remainder['right'](Poly1, Poly2, A) or Remainder(Poly1, Poly2, A) calling sequence returns the right remainder R of Poly1 and Poly2 such that:

where the degree of R is less than that of Poly2 and Q is the right quotient.

If the fourth argument 'Q' is specified, it is assigned the right quotient defined above.

•	The Remainder['left'](Poly1, Poly2, A) calling sequence returns the left remainder R of Poly1 and Poly2 such that:

where the degree of R is less than that of Poly2 and Q is the left quotient.

Examples

(1)

(2)

(3)

R1 := OrePoly((x^2+4*x+2)/(x*(x+1)*(x+2)), -(x^4-x^2-2*x-1)/((x+2)*x^2))

(4)

R2 := OrePoly((x^2+4*x+2)/(x*(x+1)*(x+2)), -(x^4-x^2-2*x-1)/((x+2)*x^2))

(5)

(6)

R3 := OrePoly((5*x^9+40*x^8+151*x^7+287*x^6+302*x^5+193*x^4+58*x^3-30*x^2-32*x-8)/(x^3*(x+1)^3*(x+2)^4), -(22*x^5+23*x^4+12*x^3+x^2+x^8+6*x^7+13*x^6-8*x-4)/((x+1)^2*(x+2)^3*x^2))

(7)

R := OrePoly((x^2+4*x+2)/(x*(x+1)*(x+2)), -(x^4-x^2-2*x-1)/((x+2)*x^2))

(8)

(9)

(10)

R := OrePoly((5*x^9+40*x^8+151*x^7+287*x^6+302*x^5+193*x^4+58*x^3-30*x^2-32*x-8)/(x^3*(x+1)^3*(x+2)^4), -(22*x^5+23*x^4+12*x^3+x^2+x^8+6*x^7+13*x^6-8*x-4)/((x+1)^2*(x+2)^3*x^2))