このページでは、Groebner パッケージについての詳細を説明します。ただし、加群の Groebner 基底の計算についての説明は除きます。加群の Groebner 基底についての説明は Groebner Bases for Modules をご参照ください。Groebner パッケージに関する基本的な情報は Groebner ヘルプページをご参照ください。

Groebner パッケージは Weyl 代数、Ore 代数といった非可換代数や D-加群のような代数構造に対する Groebner 基底計算などをおこなうコマンドを集めたものです。もちろん、これらのコマンドは可換な多項式環といった構造に対してもお使いいただけます。

可換な場合、イデアル (あるいは加群) は両側イデアルとして、非可環な場合は左イデアル (または左加群) として扱うものとしています。このことは、非可換多項式が、左にある関数に対して作用するものとして扱うことに対応しています。

Groebner パッケージの各コマンドは、コマンド名の 長い名前 短い名前 いづれの呼び出し名でも呼び出すことができます。

利用可能なコマンドのリストを以下に示します。

Groebner パッケージの個々のコマンドのヘルプを参照するには Getting Help with a Command in a Package をご覧ください。

これらのコマンドは、可換、非可換な代数構造に対して Groebner 基底計算や、関連した計算を可能にします。詳細については Ore_algebra[poly_algebra], Ore_algebra[Weyl_algebra], Ore_algebra をご参照ください。これらの計算は代数的係数、モジュラー係数の場合でもお使いいただけます。加群の場合については Computing Groebner Bases for Modules をご参照ください。

MonomialOrder コマンドは代数構造に対して単項式順序を宣言し、その単項式順序を表すテーブルを返します。このテーブルは他のコマンドで必要になります。または、単純な場合では単項式順序を表す短い記述をお使いいただけます (type(...,ShortMonomialOrder) をご参照ください)。TestOrder コマンドは二つの単項式が、与えられた単項式順序でどちらが大きいかを返します。単項式順序は、全次数順序、辞書式順序、行列順序といった、多くのよく使われる順序をお使いいただけます。

LeadingCoefficient, LeadingMonomial, LeadingTerm はそれぞれ多項式の頭係数、頭単項式、頭項を計算します。

NormalForm コマンドは多項式の、与えられたイデアルにおける正規形を計算します。Reduce コマンドは多項式の、多項式リストによる簡約の結果を返します。InterReduce コマンドは多項式リストを互いに簡約します。NormalForm や Reduce コマンドは通常 (簡約) Groebner 基底を計算したあとに用いられます。

Basis コマンドは与えられた非可換多項式環 (Ore 代数) 上の代数や可環な多項式環上の代数の (簡約) Groebner 基底を計算します。また、(可換または非可換の) 多項式環上の可群 の Groebner 基底も計算します。RememberBasis コマンドは多項式系の Groebner 基底を、一切計算することなく入力します。

可換な場合、Solve コマンドは生成元の集合を、連立代数方程式系として解くための前処理をします。

SPolynomial コマンドは二つの多項式の S-多項式を計算します。

UnivariatePolynomial コマンドは多項式イデアルの次数の最も低い一変数多項式を見つけます。

MultivariateCyclicVector コマンドは FGLM アルゴリズムのアイデアに基づいた、パラメトライズできる汎用の反復算法です。

IsZeroDimensional コマンドはイデアルが高々有限個の解しか持っていないか ( イデアルが 0 次元か ) を、 IsProper コマンドはイデアルが少なくとも一つの解を持っているかを判定します。

HilbertDimension, HilbertPolynomial, HilbertSeries コマンドはそれぞれイデアルの Hilbert 次元、 Hilbert 多項式、Hilbert 級数を計算します。

典型的な Groebner 基底計算を以下に示します。

1. 適当な代数構造を次の中から定義します : Ore_algebra[poly_algebra], Ore_algebra[diff_algebra], Ore_algebra[shift_algebra], Ore_algebra[qshift_algebra], Ore_algebra[skew_algebra]。

2. その代数構造に対して Groebner[MonomialOrder] コマンドを用いて適当な単項式順序を定義します。

3. Groebner[Basis] コマンドを呼び出します。単純な場合では、短い呼び出し名で Groebner[Basis] を呼び出すこともできます。

典型的なイデアルのメンバシップテストを以下に示します:

1. イデアルの Groebner 基底を求めるため、Groebner 基底計算を行います。(通常全次数順序 tdeg を用います);

2. Groebner[Reduce] を呼び出して結果が 0 かどうかを見ます。

Groebner 基底を用いた典型的な変数消去の手順を以下に示します:

1. 消去順序に関する Groebner 基底を計算します。(lexdeg を用います);

2. 消去される変数が現れていない多項式を選びます。

注意: 二つの多項式に対して、一つの変数を消去するという場合は、Ore_algebra[skew_elim] を用いる事もできます。

適切であれば、 Groebner パッケージのほとんどのコマンドは I, radicals,  RootOf などで表される代数的数や代数関数も入力することができます。MultiplicationMatrix, NormalSet, Solve は当てはまりません。また、PolynomialIdeal 形式のデータも、これらの入力として用いることができます。

Groebner パッケージは PolynomialIdeals パッケージと連携して使うことができます。 

注意: HilbertDimension, IsProper, IsZeroDimensional, UnivariatePolynomial はいずれのパッケージでも同じ名前で定義されており、関数として同様に動作します。with コマンドを用いて両方のパッケージを読み込むと、これらの関数は後で読み込んだパッケージの関数に関連付けられます。しかしもう一方の関数へも、長い呼び出し名を用いる事でアクセスすることができます。

with(Groebner):

G:=map(numer,[s^2/(2*s+1)*x^2*y-(s+1)*y,(3*s-1)/3*x*y^2-1/(s-1)*x]):
Basis(G,tdeg(x,y));

with(Ore_algebra):
A:=poly_algebra(s,x,y,characteristic=3,rational=s):
T:=MonomialOrder(A,tdeg(x,y)):
Basis(G,T);

n:=2:
S:=add(x[i]*D[i],i=1..n);

A:=skew_algebra(comm={a,b,seq(c[i],i=1..n)},seq(diff=[D[i],x[i]],i=1..n),
    polynom={seq(x[i],i=1..n)}):
P:=skew_product(S+a,S+b,A);

for i to n do l[i]:=skew_product(D[i],x[i]*D[i]+c[i]-1,A)-P end do;

M:=MonomialOrder(A,lexdeg([seq(D[i],i=1..n)],[seq(x[i],i=1..n)])):

Basis([seq(l[i],i=1..n)],M);

unassign('n'):
DE:=(1-x^2)*Dx^2-2*x*Dx+n*(n+1);

RDE:=(1-x^2)*Dx*Sn+(n+1)*x*Sn-(n+1);

with(Ore_algebra):
A:=skew_algebra(diff=[Dx,x],shift=[Sn,n],polynom={x,n}):
with(Groebner):
M:=MonomialOrder(A,lexdeg([Dx],[n,x,Sn])):
G:=Basis([DE,RDE],M);

Sum(orthopoly[P](n,z)*u^n,n=0..infinity)=1/sqrt(1-2*z*u+u^2);

G:=map(numer@normal,subs(Sn=Sn/u,convert(G,set))) union {u*Du-n};

with(Ore_algebra);

A:=skew_algebra(diff=[Dx,x],diff=[Du,u],shift=[Sn,n],polynom=n):
M:=MonomialOrder(A,lexdeg([n],[Dx,Du,Sn])):
GB:=Basis(G,M);

Error, (in Groebner:-Basis) invalid arguments to coeffs

GB:=Basis(eval(remove(has,GB,n),Sn=1),M):

Error, (in Groebner:-Basis) the first argument must be a
list or set of polynomials or a PolynomialIdeal

collect(GB,{Dx,Du},distributed,factor);