Legendre and Jacobi polynomials

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orthopoly[P] - Legendre and Jacobi polynomials

	Calling Sequence
	P(n, a, b, x) P(n, x)

Parameters

n	-	non-negative integer
x	-	algebraic expression
a, b	-	rational numbers greater than -1 or nonrational algebraic expressions

Description

•	The P(n, a, b, x) function computes the nth Jacobi polynomial with parameters a and b evaluated at x.

In the case of only two arguments, P(n, x) computes the nth Legendre (spherical) polynomial which is equal to P(n, 0, 0, x).

•	These polynomials are orthogonal on the interval with respect to the weight function when a and b are greater than -1. They satisfy:

int(w(t)*P(m, a, b, t)*P(n, a, b, t), t = -1 .. 1) = piecewise(n <> m, 0, n = m, 2^(a+b+1)*GAMMA(a+n+1)*GAMMA(n+b+1)/((2*n+a+b+1)*factorial(n)*GAMMA(a+n+b+1)))

The Jacobi polynomials are undefined for negative integer values of a or b.

•	Jacobi polynomials satisfy the following recurrence relation:

P(n, a, b, x) = (1/2)*(2*n+a+b-1-x)*(a^2-b^2+(2*n+a+b-2)*(2*n+a+b)*x)*P(n-1, a, b, x)/(n*(a+n+b)*(2*n+a+b-2))-(a+n-1)*(n+b-1)*(2*n+a+b)*P(n-2, a, b, x)/(n*(a+n+b)*(2*n+a+b-2)), `for n>1.`