compute the vanishing ideal for finite a set of points

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PolynomialIdeals[VanishingIdeal] - compute the vanishing ideal for finite a set of points

	Calling Sequence
	VanishingIdeal(S, X) VanishingIdeal(S, X, T, p)

Parameters

S	-	list or set of points
X	-	list of variable names
T	-	(optional) monomial order
p	-	(optional) characteristic, a non-negative integer

Description

•	The VanishingIdeal command constructs the vanishing ideal for a set of points in affine space. The output of this command is the ideal of polynomials that vanish (that is, are identically zero) on S.

•	The first argument must be a list or set of points in affine space. Each point is given as a list with coordinates corresponding to the variables in X.

•	The third argument is optional, and specifies a monomial order for which a Groebner basis is computed. If omitted, VanishingIdeal chooses lexicographic order, which is generally the fastest order.

•	The field characteristic can be specified with an optional last argument. The default is characteristic zero.

•	Multiple occurrences of the same point in S are ignored, so that VanishingIdeal always returns a radical ideal.

Examples

(1)

$POLYNOMIALIDEAL(24*x+48+351*z^2-454*z-98*z^3+9*z^4, 4*y+18*z-40+13*z^2-8*z^3+z^4, z^5-15*z^4+85*z^3-225*z^2+274*z-120, variables = {x, y, z}, characteristic = 0, known_groebner_bases = (table( [( plex(x, y, z) ) = [[1, z^5, z^5-15*z^4+85*z^3-225*z^2+274*z-120], [4, y, 4*y+18*z-40+13*z^2-8*z^3+z^4], [24, x, 24*x+48+351*z^2-454*z-98*z^3+9*z^4]] ] )))$

(2)

(3)

(4)

(5)

M := [[1, alpha], [alpha^2/(alpha-1), 0], [1, 1/alpha]]

[[1, alpha], [alpha^2/(alpha-1), 0], [1, 1/alpha]]

(6)

$POLYNOMIALIDEAL(x+1+alpha^2+y+y^2*alpha^2, y+y^3+y^2*alpha^2+y^2*alpha+y^2, variables = {x, y}, characteristic = 2, known_groebner_bases = (table( [( plex(x, y) ) = [[1, y^3, y+y^3+y^2*RootOf(_Z^3+_Z+1)^2+y^2*RootOf(_Z^3+_Z+1)+y^2], [1, x, x+1+RootOf(_Z^3+_Z+1)^2+y+y^2*RootOf(_Z^3+_Z+1)^2]] ] )))$

(7)

(8)

(9)

	See Also
	alias, Groebner[Basis], MonomialOrders, PolynomialIdeals, PolynomialIdeals[IdealInfo], PolynomialIdeals[PrimeDecomposition], PolynomialIdeals[Simplify]