各オープンセルの実数解の数の計算

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RootFinding[Parametric][NumberOfSolutions] - 各オープンセルの実数解の数の計算

	使い方
	NumberOfSolutions(m, l)

パラメータ

m	-	CellDecompositionから返されたとおりの solution record
l	-	(オプション) parameter=u..v の形式のパラメータの範囲リスト。u は有理数またはで、v は有理数またはです。

モデルの説明

•

呼出手順はシステム

の実数解の数を計算し、形式のリストリストを返します。はオープンセルのインデックスで、はこのセルから得られるパラメータ値を代入して得た非パラメトリックシステムに対する実数解の数を表します。

•	l が与えられている場合は l によって指定される範囲内に位置するサンプル点を持つオープンセルのみが計算の対象になります。

•	このコマンドは RootFinding[Parametric] パッケージの一部であるため、NumberOfSolutions(..) 形式での利用はその前に with(RootFinding[Parametric]) コマンドが実行されている場合に限ります。ただしコマンドをロングフォーマット RootFinding[Parametric][NumberOfSolutions](..) で指定すると、いつでも利用可能です。

アプリケーションと例題

>	with(RootFinding[Parametric]):

>	sys := [x^2+y^2=a, x-y=b, a>0];

(4.1)

>	m:=CellDecomposition(sys, [x,y]);

m:=[[[Equations,=, [x^2+y^2-a,x-y-b]],[Inequalities,=, [a]],[Filter,=, 0<>1],[Variables,=, [x,y]],[Parameters,=, [a,b]],[DiscriminantVariety,=, [[a],[-b^2+2 a]]],[ProjectionPolynomials,=, [[b],[a,-b^2+2 a]]],[SamplePoints,=, [[a=1/4,b=-1],[a=1,b=-1],[a=1/4,b=1],[a=1,b=1]]]]

(4.2)

>	CellPlot(m, 'samplepoints');

>	NumberOfSolutions(m);

(4.3)

システムの解の対の数はパラメータおよびが放物線の右側に位置する青または緑のセルから選択された場合はで、それ以外の場合はです。

解の数を計算する対象セルは限定できます。

>	NumberOfSolutions(m,[b=0..1]);

(4.4)

>	NumberOfSolutions(m,[a=0..1/2,b=0..1]);

(4.5)

>	NumberOfSolutions(m,[a=0..1/2,b=2..3]);

(4.6)

実際には、システムは放物線上に重複度の解をちょうど 1 つ持っています。これは上記データからは推測できません。ただし、システムに discriminant variety の方程式を追加し、も変数にすることができます。

>	m:-DiscriminantVariety;

(4.7)

>	eqs := [op(m:-Equations), op([2,1], (4.7))];

(4.8)

>	CellDecomposition(eqs, m:-Inequalities, [x,y,b]);

Error, (in RootFinding:-Parametric:-CellDecomposition) cannot solve the system: either there are infinitely many complex solutions, or there are solutions of multiplicity > 1, for almost all parameter values

計算を続けるには、根基を計算して重複を取り除く必要があります。

>	with(PolynomialIdeals, PolynomialIdeal,Generators,Simplify,Radical):

>	J := PolynomialIdeal(eqs, variables=[x,y,b]):

>	R := Generators(Simplify(Radical(J)));

$R := {b+2*y, 2*x-b, b^2-2*a}$

(4.9)

>	m2 := CellDecomposition([op(R)], m:-Inequalities, [x,y,b]);

m2:=[[[Equations,=, [b+2 y,2 x-b,b^2-2 a]],[Inequalities,=, [a]],[Filter,=, 0<>1],[Variables,=, [x,y,b]],[Parameters,=, [a]],[DiscriminantVariety,=, [[a]]],[ProjectionPolynomials,=, [[a]]],[SamplePoints,=, [[a=1]]]]