substitute an algebraic function into a holonomic one

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gfun[algebraicsubs] - substitute an algebraic function into a holonomic one

	Calling Sequence
	algebraicsubs(deq, eq, y(z), ini)

Parameters

deq	-	linear differential equation in y(z) with polynomial coefficients
eq	-	algebraic equation in y(z)
y	-	name; holonomic function name
z	-	name; variable of the holonomic function y
ini	-	(optional) set; specify computation of initial conditions for the resulting differential equation

Description

•	The gfun[algebraicsubs](deq, eq, y(z)) command returns a differential equation satisfied by the composition where f is the holonomic function defined by the equation deq and g is the algebraic equation defined by eq. The composition is holonomic by closure properties of holonomic functions.

•	Let d1 be the differential order of deq, and d2 be the degree of eq. If the equation deq is homogeneous, then the order of is at most . Otherwise, it is at most .

•	If initial conditions are specified using ini, the algebraicsubs function attempts to compute initial conditions for the resulting differential equation.

Initial conditions can be present in the differential equation if a set is specified, in the same way as initial conditions are specified for dsolve. In the case of a polynomial equation, they are specified in the optional parameter ini as a set, using the same syntax as for dsolve.

Examples

The differential equation satisfied by cos(t).

The algebraic equation satisfied by sqrt(1-4*t).

The differential equation satisfied by cos(sqrt(1-4*t)).

-4*f(t)+2*(diff(f(t), t))+(-1+4*t)*(diff(f(t), `$`(t, 2)))

(1)

>	$algebraicsubs({((D@@2)(y))(x)+y(x), y(0) = 1, (D(y))(0) = 0}, 2x^4-y^2+2yx-x^2, y(x), {y(0) = 0, (D(y))(0) = 1, ((D@@2)(y))(0) = 2sqrt(2)})$

${(768*x^6-2048*x^8+864*x^4+87-236*x^2)*y(x)+(280*x+320*x^3)*(diff(y(x), x))+(-136*x^2-512*x^6+18)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))+(-8*x+128*x^3)*(diff(y(x), `$`(x, 3)))+(3+4*x^2-32*x^4)*(diff(y(x), `$`(x, 4))), y(0) = 1, (D(y))(0) = 0, ((D@@2)(y))(0) = -1, ((D@@3)(y))(0) = -6*2^(1/2)}$