動的エクスポート

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動的エクスポート

定義する一般化座標が独立座標の場合は、システムの応答を支配する動的な方程式は、一連の常微分方程式 (ODEs) で構成されます。

座標が従属座標の場合、動的応答の ODE は、位置レベルの運動拘束を持つ非線形代数方程式を同時に実行する場合のみ解を導くことができます。結果のシステムの方程式は、一連の微分代数方程式 (DAEs) で構成されます。MapleSim/Multibody では、拘束作用を実際の力とモーメントで表すか、Lagrange 乗法によって間接的に表現することができます。

Baumgarte 拘束安定化

これらの DAE を ODE に変換する方法として、位置拘束を加速拘束に置換する方法がありますが、これは同時に ODE で動的方程式から数値的に積分されます。ただし、この積分プロセス中に、数値エラーが累積して位置拘束方程式上の違反となります (ツリー構造の連結部が浮き上がって離れているように見える)。Baumgarte は、位置、速度、加速の各拘束を次のように単一式にまとめることでこれらを安定化する手法を提唱しています。：

この式は、加速に対する線形方程式として次のように記述できます：

加速に対してこの式を積分すると、Baumgarte パラメータの α と β がこの位置の拘束を安定化させます。これらのパラメータは次のコマンドで設定されます。：

> Model:-SetBaumgarte([alpha,beta]);

この `Model` は BuildEQs コマンドから返されるモジュールで、数値解以前に α と β に数値を指定する必要があります。一般的な値の範囲は 1 ～ 10 で、検証対象システムの特性に応じて変化します。

後述するように、Baumgarte 安定化は拘束を伴う動的システムのエクスポートで自動的に使用されます。Baumgarte パラメータを設定しないと、デフォルト値 0 が設定されているとみなされます(つまり、拘束安定化は行われません)。

拘束を伴わない動態 (独立座標での ODE)

一般化座標 q および一般速度 p が独立している場合、運動方程式は次のように「拘束を伴わない」形式を取ります：

上記の式では質量行列を、には外力と二次速度項が含まれます。完全なシステムの方程式は、未知が2n の 2n 常微分方程式になる、運動変換を含むこれらの運動方程式の組み合わせとして形成されます：

次表に、このような拘束を伴わない運動方程式とその各種変数の概要を示します。

式	BuildEQs エキスポート	説明
	GetDynEQs()	n の独立座標と速度を伴う運動方程式
	xM	質量行列 (n x n)
	vF	運動方程式 (n x 1 列行列) の右辺
	GetSysODEs()	n の独立座標と速度でモデリングされるシステムで実行される 2n ODE の完全セット
	GetAYBSysODEs()	システムの ODE で構成される 3 つの行列を返します。注 : 列行列 Y は状態変数の導関数 vXdot に相当します。

拘束を伴う動態 (拘束作用がある DAE)

一般化座標 q および一般速度 p が独立していない場合、「拡大した」運動方程式は、明示的に表した拘束作用 (AugType オプションを Reaction に設定) を伴うものとして次のように記述できます：

この f には、運動拘束を実施するツリー構造の連結部における作用負荷が含まれます。また、C は係数行列に相当します。次表に、これらの拘束運動方程式とその変数の概要を示します。：

式	BuildEQs エキスポート	説明
	GetDynEQs()	n の従属座標と速度を伴う運動方程式
	xM	質量行列 (n x n)
	vF	運動方程式 (n x 1 列行列) の右辺
	vReactions	運動拘束方程式 (m x 1 列行列) を実行するツリー構造の連結部内での作用力とモーメント
	xC	拘束作用の係数行列 (m x n)
	GetSysEQs()	2n の座標と速度、および拘束作用 m に対する 2n+m DAE の完全なセット
	GetSysODEs()	位置拘束を Baumgarte 形式の加速拘束に置換することで実現する DAE から 2n+m ODES への変換
$Matrix(3, 3, {(1, 1) = M, (1, 2) = 0, (1, 3) = C^T, (2, 1) = 0, (2, 2) = 1, (2, 3) = 0, (3, 1) = Psi[p(t)], (3, 2) = 0, (3, 3) = 0}), Vector(3, {(1) = diff(p(t), t), (2) = diff(q(t), t), (3) = f}), Vector(3, {(1) = F, (2) = h, (3) = `ε`})$	GetAYBSysODEs()	システムの ODE で構成される 3 つの行列を返します。

拘束を伴う動態 (Lagrange 乗法を使用した DAE)

前述の方法以外にも、Lagrange 乗法で暗黙的に表される (AugType オプションを Lagrange に設定) 拘束作用を伴う拡大した運動方程式を記述できます：

λ は Lagrange 乗法 (拘束方程式ごとに 1 つ) で、は速度拘束方程式の Jacobian 行列で一般速度 p を伴っています。次表に、これらの拘束を伴う運動方程式とその変数の概要を示します。

式	BuildEQs エキスポート	説明
	GetDynEQs()	n の従属座標と速度を伴う運動方程式
	xM	質量行列 (n x n)
	vF	運動方程式 (n x 1 列行列) の右辺
	vLambda	運動拘束方程式を実施するツリー構造の連結部内における作用力とモーメントを間接的に表す Lagrange 乗数 (m x 1 列行列)
	GetSysEQs()	2n の座標と速度、および m 個の Lagrange 乗数で表される2n+m DAE の完全なセット
	GetSysODEs()	位置拘束を Baumgarte 形式の加速拘束に置換することで実現する DAE から 2n+m ODES への変換
$Matrix(3, 3, {(1, 1) = M, (1, 2) = 0, (1, 3) = Psi[p(t)]^T, (2, 1) = 0, (2, 2) = 1, (2, 3) = 0, (3, 1) = Psi[p(t)], (3, 2) = 0, (3, 3) = 0}), Vector(3, {(1) = diff(p(t), t), (2) = diff(q(t), t), (3) = lambda}), Vector(3, {(1) = F, (2) = h, (3) = `ε`})$	GetAYBSysODEs()	システムの ODE で構成される 3 つの行列を返します。

例

下図は、平面上のスライダクランク機構を MapleSim の組み込みモデルで表した例です。この例では組み込みコンポーネント名は Simulation0、モデル名は SliderCrank です。

>	leArguments := [ 'InputString'=MapleSim:-Multibody:-GetMultibodyInput("Simulation0"), 'ModelName'="SliderCrank", 'KinSimpType'="Simplify", 'DynSimpType'="Simplify", 'AugType'="Lagrange", 'MaxSmallQOrder'=1, 'SaveToLib'=false, 'SilentMode'=false ]: MapleSim:-Multibody:-BuildEQs(op(leArguments)):

$"vQ", Vector(3, {(1) = s_P2(t), (2) = theta_R1(t), (3) = theta_R5(t)}), "vP", Vector(3, {(1) = diff(s_P2(t), t), (2) = diff(theta_R1(t), t), (3) = diff(theta_R5(t), t)}), "vPdot", Vector(3, {(1) = diff(diff(s_P2(t), t), t), (2) = diff(diff(theta_R1(t), t), t), (3) = diff(diff(theta_R5(t), t), t)}), "vLambda", Vector(2, {(1) = lambda1(t), (2) = lambda2(t)})$

(1.5.1)

>	SliderCrank:-xM;

Matrix([[2.500000000, 0, .2500000000*sin(theta_R5(t))], [0, 0.7500000000e-2, 0], [.2500000000*sin(theta_R5(t)), 0, .1290000000]])

(1.5.2)

>	SliderCrank:-vF;

Vector[column]([[-.2500000000*(diff(theta_R5(t), t))^2*cos(theta_R5(t))], [-.2943000000*cos(theta_R1(t))], [2.452500000*cos(theta_R5(t))]])

(1.5.3)

	関連項目
	Kinematic Exports, MapleSim, MapleSim[Multibody][BuildEQs], MapleSim[Multibody][BuildExpression], MapleSim[Multibody][BuildSimCode], MapleSim[Multibody][BuildSimulation], MapleSim[Multibody][GetModel], MapleSim[Multibody][GetMultibodyInput]