find solutions of a linear system of ODEs in matrix form

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DEtools[matrixDE] - find solutions of a linear system of ODEs in matrix form

	Calling Sequence
	matrixDE(A, B, t, method=matrixexp) matrixDE(A, B, t, solution=solntype)

Parameters

A, B	-	coefficients of a system ; if B not specified, then assumed to be a zero vector
t	-	independent variable of the system
method=matrixexp	-	(optional) matrix exponentials
solution=solntype	-	(optional) where solution=polynomial or solution=rational

Description

•	The matrixDE command solves a system of linear ODEs of the form . If B is not specified then it is assumed to be the zero vector.

•	An option of the form method = matrixexp can be specified to use matrix exponentials (in the case of constant coefficients).

•	An option of the form solution = polynomial or solution = rational can be specified to search for polynomial or rational solution. In this case, the function invokes LinearFunctionalSystems[PolynomialSolution] or LinearFunctionalSystems[RationalSolution].

The command returns a pair with , which is an by Matrix, and , which is an by Vector. A particular solution of the system can be then written in the form where is by and . If B is zero then P will also be zero.

•	If a system is expressed in terms of equations, dsolve can be used instead.

Examples

Nonconstant homogeneous system

A := Matrix([[1, t^2], [t, 1]])

(1)

sol := [matrix([[t^(3/2)*exp(t)*BesselI(3/5, (2/5)*t^(5/2)), t^(3/2)*exp(t)*BesselK(3/5, (2/5)*t^(5/2))], [exp(t)*t*BesselI(-2/5, (2/5)*t^(5/2)), -exp(t)*t*BesselK(2/5, (2/5)*t^(5/2))]]), vector([0, 0])]

(2)

Matrix of arbitrary coefficients

Verification of solution

(3)

(4)

Nonhomogeneous system of two variables with constant coefficients

B := Matrix([[t^k], [t^l]])

(5)

(6)

Verification of solution

(7)

(8)

Nonconstant homogeneous system with unknown coefficients

A := Matrix([[1, 0], [1, f(t)]])

(9)

$sol := [matrix([[-f(t)*DESol({diff(_Y(t), `$`(t, 2))-(diff(_Y(t), t))*f(t)-(diff(_Y(t), t))-_Y(t)*(diff(f(t), t))+_Y(t)*f(t)}, {_Y(t)})+diff(DESol({diff(_Y(t), `$`(t, 2))-(diff(_Y(t), t))*f(t)-(diff(_Y(t), t))-_Y(t)*(diff(f(t), t))+_Y(t)*f(t)}, {_Y(t)}), t)], [DESol({diff(_Y(t), `$`(t, 2))-(diff(_Y(t), t))*f(t)-(diff(_Y(t), t))-_Y(t)*(diff(f(t), t))+_Y(t)*f(t)}, {_Y(t)})]]), vector([0, 0])]$

(10)

General nonhomogeneous system of two variables with constant coefficients

A := Matrix([[a, b], [c, d]])

(11)

B := Matrix([[f(t)], [g(t)]])

(12)

(13)

(14)

Finding a polynomial solution

M := Matrix([[0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0], [2, 2*x, 0, 0, 1, 0], [x^2, 0, 2*x, 0, 0, 1], [0, x^2, -2, 0, 0, 0]])

(15)

sol := [matrix([[0, 1, x, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0], [1, -x, -x^2, 0, 0, 0], [-1, x, x^2, 0, 0, 0], [0, -1, -2*x, 0, 0, 0], [-2*x, x^2, -2+x^3, 0, 0, 0]]), vector([0, 0, 0, 0, 0, 0])]