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Maple 9 の改良されたパッケージ: Part 1

•	Maple 9 では、既存のパッケージに多くの改良を行いました。　追加された改善点は、Maple 9の改良されたパッケージ: Part 2 を参照してください。

•	Maple 9 の新規パッケージの詳細は、Maple 9の新規パッケージを参照してください。

CodeGeneration

CodeGeneration パッケージに、多くの改良が行われました。新しいエクスポートでは、Maple コードをVisual Basic(R) や MATLAB(R) 言語に変換したり、ユーザが現在の変換機能を拡張することができます。現在、トランスレータは、式、計算のシークエンス、プロシージャに加えて、モジュールを入力として受け取ります。これらの新機能について、効率に関する他の改良、Maple 言語のカバレージ、出力の質とともに、以下に述べます。

>	with(CodeGeneration);

Warning, the protected name Matlab has been redefined and
unprotected

(1.1)

新たな言語への変換

•	2 つの新しいエクスポート、Matlab と VisualBasic は、それぞれ、 MATLAB と Visual Basic への変換を行います。つぎの例は、計算のシークエンスとプロシージャの変換を示します。

>	x := 'x': s := 's': t := 't': r := 'r': cs := [s=1.0+x, t=ln(s)exp(-x), r=exp(-x)+xt]: Matlab(cs);

s = 0.10e1 + x;
t = log(s) * exp(-x);
r = exp(-x) + x * t;

>	f := proc(x, y) local a; if x < 1.0 then a := cos(y) else a := sin(y) end if; return 2*a; end proc: VisualBasic(f);

Imports System.Math
Public Module CodeGenerationModule
  Public Function f(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    Dim a As Double
    If (x < 0.10E1) Then
      a = Cos(y)
    Else
      a = Sin(y)
    End If
    Return 0.2E1 * a
  End Function
End Module

•	CodeGeneration パッケージを使用する変換についての一般的な情報は、 CodeGenerationDetails ヘルプページにあり、新しい MATLAB と Visual Basic トランスレータに固有の情報は、MatlabDetails と VisualBasicDetails ヘルプページにあります。

ユーザ定義の変換

•

CodeGeneration パッケージの変換機能は、現在、新しい CodeGeneration[LanguageDefinition] サブモジュールを使用して拡張されます。CodeGeneration トランスレータは、あらかじめ定義されたランゲージ定義モジュール、パッケージがサポートする各ターゲット言語のモジュールを使用します。LanguageDefinition サブモジュールには、既存の定義モジュールに指定された変換の重ね処理による消去や追加、あるいは、全く新しい言語の定義モジュールを指定できるエクスポートがあります。その後、コマンド Translate は、新しい定義を使用して変換に使用されます。

•	変換過程の概要は、 LanguageDefinitionOverview ヘルプページに記述しています。

ここでは、ANSI C を拡張する言語を定義し、`my_function' という名前の Maple プロシージャの変換を `my_function_equivalent' と定義します。

>	LanguageDefinition:-Define( "SomeNewLanguage", extend="C", AddFunction("my_function", [numeric]::numeric, "my_function_equivalent") ): Translate( my_function(csc(x)+sin(x)), language="SomeNewLanguage" );

cg = my_function_equivalent(0.1e1 / sin(x) + sin(x));

Maple 言語のカバレージの改良

•	現在、モジュールは、CodeGeneration トランスレータにより入力として受け取られます。詳細は、Notes on Code Translation Using the CodeGeneration Package を参照してください。

>	m := module() local g; export f; g := proc(x) cos(x)+sin(x) end proc: f := proc(y) if y>=0.0 and y<=2.0*Pi then g(y) else 0.0 end if end proc: end module: Java(m);

import java.lang.Math;
class m {
  public static double f (double y)
  {
    if (0.0e0 <= y && y <= 0.20e1 * Math.PI)
      return(g(y));
    else
      return(0.0e0);
  }
  private static double g (double x)
  {
    return(Math.cos(x) + Math.sin(x));
  }
}

•	Maple try ステートメントは、現在、CodeGeneration により認識され、そのようなステートメントが存在するサポート言語の等価なステートメントに変換されます。

>	tproc := proc(a, b) try a/b; catch: printf("An error %s occurred.\n", lasterror); end try; end proc: Java(tproc);

class CodeGenerationClass {
  public static double tproc (double a, double b) throws Exception;
  {
    try {
      return(a / b);
    } catch (Exception except) {
      System.out.println("An error " + except.getMessage() + " occurred.");
    }
  }
}

•	トランスレータは、より多くの Maple コンストラクトが、それらを変換することができなくても、Maple コンストラクトを受け取ります。たとえば、Maple 8 では、認識されないコンテキストに見つけられたリストは、エラーを出します。現在、そのようなリストは、変更不可と変換され、ワーニングが表示されます。これらの状況では、出力は多くの場合、正しくありませんが、ユーザには、必要に応じてそれを修正する場合があります。

新規オプション

•	Maple 入力コードの解析をコントロールするために、2 つのオプション deducereturn と reduceanalysis があります。

•	プロシージャが入力として提供される場合、任意のインプリシット出力 (implicit returns) を解釈し、それらをエクスプリシット出力 (explicit returns) に変換します。しかし、deducereturn=false オプションが指定される場合、エクスプリシット出力へ変換せず、任意のインプリシット出力になるMaple コードは、変更不可と変換されます。以下に例を示します。最初のコールは、デフォルトの動作を示します。一方、2 番目の動作は、deducereturn=false オプションの効果を示します。

>	f := proc(x) local y; y := x+10; end proc: C(f);

int f (int x)
{
  int y;
  y = x + 10;
  return(y);
}

>	C(f, deducereturn=false);

void f (int x)
{
int y;
y = x + 10;
}

•	方程式のリストとして指定される計算シークエンスが入力として与えられる場合、普通シークエンス全体が解析され、その結果、1 つの代入を解析する間に集められた型の情報は、つぎの代入での解析に適用されます。これに対し、オプション reduceanalysis=true は、計算のシークエンスが、各時間に1つの代入が解析されるように指定します。このオプションを使用すると、変換に必要な時間とメモリを大幅に減らすことができますが、ターゲットコードが代入の型に矛盾を含む可能性があります。

•	これらのオプションや他のオプションの詳細は、CodeGenerationOptions ヘルプページからご利用頂けます。

その他

•	Maple 8 では、インプリシット出力 (implicit returns) のエクスプリシット出力 (explicit returns) への変換は、戻り値をホールドする新しい変数の生成を常に必要とします。現在、新しい変数は、必要な場合にのみ生成され、多くの場合、よりコンパクトな出力になります。

DEtools

•	DEtools パッケージには、新規関数 DEtools[dperiodic_sols] があります。これは、二重周期係数をもつ線形 ODE の解を検索します。二重周期関数は、Weierstrass form (P と P'　の有理式) 、あるいは、Jacobi form (Jacobi 関数の有理式、たとえば、sn, cn, dn) で一般にあらわされます。

>	alias( P = WeierstrassP(x,g2,g3), Pp = WeierstrassPPrime(x,g2,g3), sn = JacobiSN(x,k), cn = JacobiCN(x,k), dn = JacobiDN(x,k) ): ode := diff(y(x),x$2) - (2P + B)y(x): DEtools[dperiodic_sols](ode, y(x) );

[(-P+B)^(1/2)*exp(-(1/2)*(Int(((-4*P^3+g2*P+g3)*(g3-4*B^3+g2*B))^(1/2)*Pp/((-4*P^3+g2*P+g3)*(-P+B)), x))), (-P+B)^(1/2)*exp((1/2)*(Int(((-4*P^3+g2*P+g3)*(g3-4*B^3+g2*B))^(1/2)*Pp/((-4*P^3+g2*P+g3)*(-P+B)), x)))]

(2.1)

>	k := 3: ode := diff(y(x),x$2) + (k^2sncn/dn)diff(y(x),x) + 9dn^2*y(x): DEtools[dperiodic_sols](ode, y(x) );

(2.2)

>	ode := (Pp + (P^2))diff(y(x),x$2) + ((P)^3-PPp-diff(P,x$2))diff(y(x),x) + ((Pp)^2-(P)^2Pp-Pdiff(P,x$2))y(x): DEtools[dperiodic_sols](ode, y(x));

(2.3)

k := 'k':

•	DEtools パッケージは、微分方程式系の多項式解と有理解を探す際に、LinearFunctionalSystems パッケージにより拡張されます。

DEtools[matrixDE] は、solution = polynomial、または、solution = rationalの形のオプションを受け取ります。これは、多項式解または有理解を見つけるように指定します。この場合、関数 LinearFunctionalSystems[PolynomialSolution] 、または、 LinearFunctionalSystems[RationalSolution] が解を見つけるのに使用されます。

>	M := matrix(6,6,[0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,2,2x,0,0,1,0,x^2,0,2x,0,0,1,0,x^2,-2,0,0,0]);

$M := Matrix(6, 6, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 1, (1, 3) = 0, (1, 4) = 0, (1, 5) = 0, (1, 6) = 0, (2, 1) = 0, (2, 2) = 0, (2, 3) = 1, (2, 4) = 1, (2, 5) = 0, (2, 6) = 0, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 0, (3, 4) = 0, (3, 5) = 1, (3, 6) = 0, (4, 1) = 2, (4, 2) = 2*x, (4, 3) = 0, (4, 4) = 0, (4, 5) = 1, (4, 6) = 0, (5, 1) = x^2, (5, 2) = 0, (5, 3) = 2*x, (5, 4) = 0, (5, 5) = 0, (5, 6) = 1, (6, 1) = 0, (6, 2) = x^2, (6, 3) = -2, (6, 4) = 0, (6, 5) = 0, (6, 6) = 0})$

(2.4)

>	DEtools['matrixDE'](M,x,solution=polynomial);

(2.5)

DEtools[polysols] と DEtools[ratsols] に対して、微分方程式系は、第 1 引数で方程式のリスト、第 2 引数で変数のリストをとる、あるいは、第 1 引数で線形 ODE の係数のリストのリストのリスト (a list of lists of lists of coefficients of linear ODEs) 、第 2 引数でそのような方程式の右辺のリスト、第 3 引数で独立変数をとるかのいずれかとして与えられます。各方程式は、1 変数の LODEs の和として表され、それらの各々は、係数のリストとして与えられます。従って、1 つの方程式は、係数のリストのリスト (a list of lists of coefficients )、リストのリストのシステム (a system as a list of lists of lists) として与えられます。後者のシークエンスは、ルーチンを用いたプログラミングにとって便利です。

>	sys := [diff(y1(x), x) - y2(x), diff(y2(x), x) - y3(x) - y4(x), diff(y3(x), x) - y5(x), diff(y4(x), x) - 2y1(x) - 2xy2(x) - y5(x), diff(y5(x), x) - x^2y1(x) - 2xy3(x) - y6(x), diff(y6(x), x) - x^2y2(x) + 2y3(x)];

sys := [diff(y1(x), x)-y2(x), diff(y2(x), x)-y3(x)-y4(x), diff(y3(x), x)-y5(x), diff(y4(x), x)-2*y1(x)-2*x*y2(x)-y5(x), diff(y5(x), x)-x^2*y1(x)-2*x*y3(x)-y6(x), diff(y6(x), x)-x^2*y2(x)+2*y3(x)]

(2.6)

>	vars := [y1(x), y2(x), y3(x), y4(x), y5(x), y6(x)];

(2.7)

>	DEtools['polysols'](sys, vars);

(2.8)

>	sysp := [[[0,1],[-1]],[[],[0,1],[-1],[-1]],[[],[],[0,1],[],[-1]], [[-2],[-2x],[],[0,1],[-1]],[[-x^2],[],[-2x],[],[0,1],[-1]], [[],[-x^2],[2],[],[],[0,1]]];

(2.9)

>	DEtools['polysols'](sysp, [0,0,0,0,0,0], x);

(2.10)

LibraryTools

•	LibraryTools パッケージには、新規ルーチンLibraryTools[Browse] があります。ルーチン LibraryTools[Browse] は、複数のライブラリの操作を簡単にする maplet インタフェースを表示します。ボタンをクリックして、新規ライブラリを作成、ナビゲートし、既存のライブラリのコンテンツを編集することができます。

>	LibraryTools[Browse]();

>	x := 'x': sys := [y2(x)x^2+3y2(x)x+2y2(x)-2y1(x)x^2-4y1(x)x+y1(x+1)x^2+y1(x+1)x,y2(x+1)-y1(x)];

(1)

>	vars := [y1(x), y2(x)];

(2)

>	LREtools['polysols'](sys, vars,{}, 'output'='basis');

(3)

LinearAlgebra

•	LinearAlgebra パッケージには、3 つの新しい関連ルーチン MatrixExponential, MatrixPower, MatrixFunction があります。より一般のルーチン MatrixFunction は、解析関数 F と行列 Aに対して、F(A) を計算します。一般的な 2 つの関数についてこの機能を使用するために、便利なように、2 つのルーチン MatrixExponential と MatrixPower があります。詳細は、MatrixFunction のヘルプページを参照してください。

例題

>	with(LinearAlgebra): M := Matrix([[3,5],[-2,4]]): MatrixFunction(M,sin(x),x);

Matrix(2, 2, {(1, 1) = sin(7/2)*cosh((1/2)*sqrt(39))-(1/39)*sqrt(39)*cos(7/2)*sinh((1/2)*sqrt(39)), (1, 2) = (10/39)*sqrt(39)*cos(7/2)*sinh((1/2)*sqrt(39)), (2, 1) = -(4/39)*sqrt(39)*cos(7/2)*sinh((1/2)*sqrt(39)), (2, 2) = sin(7/2)*cosh((1/2)*sqrt(39))+(1/39)*sqrt(39)*cos(7/2)*sinh((1/2)*sqrt(39))})

(4.1.1)

>	SQ := MatrixFunction(M,x^(1/2),x);

SQ := Matrix(2, 2, {(1, 1) = (1/2)*sqrt(7+2*sqrt(22))-(1/78)*sqrt(39)*sqrt(-7+2*sqrt(22)), (1, 2) = (5/39)*sqrt(39)*sqrt(-7+2*sqrt(22)), (2, 1) = -(2/39)*sqrt(39)*sqrt(-7+2*sqrt(22)), (2, 2) = (1/2)*sqrt(7+2*sqrt(22))+(1/78)*sqrt(39)*sqrt(-7+2*sqrt(22))})

(4.1.2)

>	map(radnormal,SQ^2);

Matrix(2, 2, {(1, 1) = 3, (1, 2) = 5, (2, 1) = -2, (2, 2) = 4})

(4.1.3)

•	浮動小数点システムに対する、スパースな線形反復ソルバの3つの新しいクラスが、ルーチン LinearAlgebra[LinearSolve] から導入されました。これらは、既存の対称的な反復ソルバを補足し、複素エルミート行列、実非対称、複素非エルミート行列の場合をカバーします。

例題

>	with(LinearAlgebra): M := Matrix([[3,5],[-2,4]],storage=sparse,datatype=float): b := Vector([1,2],datatype=float): infolevel[LinearAlgebra]:=3;

(4.2.1)

>	x := LinearSolve(M,b,method=SparseIterative);

LinearSolve:   "using method"   SparseIterative
LinearSolve:   "using method "   SparseIterative
LinearSolve:   "calling external function"
SparseLinearSolve:   "using CGS method"
SparseLinearSolve:
"preconditioning with incomplete LU factorization"
SparseLinearSolve:   "level of fill = "   0
SparseLinearSolve:   "no pivoting applied"
SparseLinearSolve:
"dimension of workspaces for preconditioner = "   16
SparseLinearSolve:
"using infinity norm in stopping criteria"
SparseLinearSolve:   "setting maximum iterations to "   200
SparseLinearSolve:   "setting tolerance to "   .10e-7
SparseLinearSolve:   "NAG"   hw_f11zaf
SparseLinearSolve:   "NAG"   hw_f11daf
SparseLinearSolve:   "NAG"   hw_f11dcf
SparseLinearSolve:   "number of iterations"   1
SparseLinearSolve:   "residual computed last as"   .\
111022302462515654e-14

x := Vector(2, {(1) = -.272727272727272929, (2) = .363636363636363535})

(4.2.2)

>	Norm(M.x - b);

MatrixVectorMultiply:   "calling external function"
MatrixVectorMultiply:   hw_SpMatVecMulRR
VectorScalarMultiply:   "calling external function"
VectorScalarMultiply:   "NAG"   hw_f06edf
VectorAdd:   "calling external function"
VectorAdd:   "NAG"   hw_f06ecf
VectorNorm:   "calling external function"
VectorNorm:   "NAG: "   hw_f06raf

(4.2.3)

>	infolevel[LinearAlgebra]:=0;

(4.2.4)

ListTools

•	ListTools パッケージに、新規関数 ListTools[Occurrences] が追加されました。リスト内のアイテムの件数をカウントします。正確に等しい場合だけでなく、同等とみなすための条件を指定することができます。

LREtools

•	関数 LREtools[hypergeomsols] は、論文: M. van Hoeij, ``Finite Singularities and Hypergeometric Solutions of Linear Recurrence Equations.'' J. Pure Appl. Algebra, 139, p. 109-131 (1999)に基づき実現します。このアルゴリズムは、再帰関係の前方あるいは後方の係数が、複雑な根をもつ多項式の場合、十分に高速です。つぎのような例があります。

>	LREtools[hypergeomsols](u(n+2) = 2(n^4+4n^3+6n^2+5n+3)(n^4+n+1)u(n), u(n), {}, 'output'='basis');

CharacteristicPolynomial: working on determinant of minor
2

[2^((1/2)*n)*(-1)^n*(product(k^4+k+1, k = 0 .. n))/(n^4+n+1), 2^((1/2)*n)*(product(k^4+k+1, k = 0 .. n))/(n^4+n+1)]

(6.1)

•	LREtools パッケージは、再帰方程式系の多項式解と有理解を探す際に、LinearFunctionalSystems パッケージにより拡張されます。

>	x := 'x': sys := [y2(x)x^2+3y2(x)x+2y2(x)-2y1(x)x^2-4y1(x)x+y1(x+1)x^2+y1(x+1)x,y2(x+1)-y1(x)];

(6.2)

>	vars := [y1(x), y2(x)];

(6.3)

>	LREtools['polysols'](sys, vars,{}, 'output'='basis');

(6.4)

•	LREtools パッケージには、新規関数 LREtools[IsDesingularizable] があります。多項式係数をもつ線形微分作用素を desingularize します。

>	LREtools[IsDesingularizable]((n-2)(n^3+2)E+n,E,n,'leading','output'='operator');

true, -1/6+(-(1/6)*(n+2)^3+(4/3)*(n+2)^2-(10/3)*n-5)*E+(-(2/3)*(n+2)^3+(8/3)*(n+2)^2-(8/3)*n-19/3)*E^2+(-(n+2)^3-2)*E^3, []

(6.5)

•	新規サブパッケージ LREtools[HypergeometricTerm] の詳細は、 Maple 9の新規パッケージを参照してください。

Slode

Slode パッケージには、新規関数 Slode[dAlembertian_formal_sol] があります。これは、多項式係数をもつ斉次線形微分方程式に対する d'Alembertian 級数をもつ形式解を見つけます。

>	ode:=(-4-x^2+2x)y(x)+(2x-3x^3-x^2)diff(y(x),x)+(x^3-x^4)diff(y(x),`$`(x,2));

ode := (-4-x^2+2*x)*y(x)+(2*x-3*x^3-x^2)*(diff(y(x), x))+(x^3-x^4)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))

(7.1)

>	Slode[dAlembertian_formal_sol](ode,y(x));

x^2*(-(1/2)*(Sum(x^_n, _n = 0 .. infinity))+Sum((Sum((-1)^_n1*2^(-_n1)*(Product((_k^2+6*_k+9)/(_k+2), _k = 0 .. _n1-1)), _n1 = 0 .. _n-1))*x^_n, _n = 0 .. infinity))*_C[0]+exp(2/x)*(Sum(x^_n, _n = 0 .. infinity)-1/3)*_C[1]/x

(7.2)

>	ode:=(x-1)^2diff(y(x),`$`(x,3))-(x-1)(x-7)diff(y(x),`$`(x,2))-2(2x-5)diff(y(x),x)-2*y(x);

ode := (x-1)^2*(diff(y(x), `$`(x, 3)))-(x-1)*(x-7)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))-2*(2*x-5)*(diff(y(x), x))-2*y(x)

(7.3)

>	Slode[dAlembertian_formal_sol](ode,y(x));

_C[0]*(Sum(x^_n, _n = 0 .. infinity))+_C[2]*(Sum(_n*x^_n, _n = 0 .. infinity))+_C[1]*(Sum((Sum(Sum(Product(1/(_k+3), _k = 0 .. _n2-1), _n2 = 0 .. _n1-1), _n1 = 0 .. _n-1))*x^_n, _n = 0 .. infinity))

(7.4)

SNAP

•	SNAP パッケージに、新規関数 QRGCD が追加されました。これは、2 つの一変数多項式の approximate right GCD を計算します。詳細は、SNAP[QRGCD] を参照してください。

SolveTools

•	SolveTools パッケージには、新規関数 PolynomialSystem があります。これは、多項式方程式の一般のシステムを解きます。詳細は、SolveTools[PolynomialSystem] を参照してください。

>	SolveTools[PolynomialSystem]({x^2+y^2-3,x*y+5},{x,y});

${y = RootOf(25+_Z^4-3*_Z^2), x = (1/5)*RootOf(25+_Z^4-3*_Z^2)*(RootOf(25+_Z^4-3*_Z^2)^2-3)}$

(9.1)

•	関数 SolveTools[CancelInverses] には、現在、至る所で正しい変換にのみ適用するオプション 'safe' があります。詳細は、SolveTools[CancelInverses] を参照してください。