Titchmarsh ODEs - Maple Help

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Titchmarsh ODEs

Description

•	The general form of the Titchmarsh ODE is given by:

>	Titchmarsh_ode := diff(y(x),x,x)+(lambda-x^(2n))y(x)=0;

Titchmarsh_ode := diff(y(x), `$`(x, 2))+(lambda-x^(2*n))*y(x) = 0

(1)

where n is an integer. See Hille, "Lectures on Ordinary Differential Equations", p. 617.

•	All linear second order homogeneous ODEs can be transformed into first order ODEs of Riccati type by giving the symmetry [0,y] to dsolve (all linear homogeneous ODEs have this symmetry) or by calling convert (see convert,ODEs).

Examples

(2)

Reduction to Riccati by giving the symmetry to dsolve

$ans := y(x) = `&where`(exp(Int(_b(_a), _a)+_C1), [{diff(_b(_a), _a) = -_b(_a)^2-lambda+_a^(2*n)}, {_a = x, _b(_a) = (diff(y(x), x))/y(x)}, {x = _a, y(x) = exp(Int(_b(_a), _a)+_C1)}])$

(3)

The reduced ODE above is of Riccati type:

(4)

(5)

Converting this ODE into a first order ODE of Riccati type

$Riccati_ode_TR := diff(_a(x), x) = _F1(x)*_a(x)^2-(diff(_F1(x), x))*_a(x)/_F1(x)+(lambda-x^(2*n))/_F1(x), {y(x) = exp(-(Int(_a(x)*_F1(x), x)))*_C1}$

(6)

In the answer returned by convert, there are the Riccati ODE and the transformation of variables used. Changes of variables in ODEs can be performed using ?PDEtools[dchange]. For example, using the transformation of variables above, we can recover the result returned by convert.

	See Also
	DEtools, odeadvisor, dsolve, and ?odeadvisor,<TYPE> where <TYPE> is one of: quadrature, missing, reducible, linear_ODEs, exact_linear, exact_nonlinear, sym_Fx, linear_sym, Bessel, Painleve, Halm, Gegenbauer, Duffing, ellipsoidal, elliptic, erf, Emden, Jacobi, Hermite, Lagerstrom, Laguerre, Liouville, Lienard, Van_der_Pol, Titchmarsh; for other differential orders see odeadvisor,types.