DEtools[Lie] サブパッケージは、E.S. Cheb-Terrab、A.D. Roche、L.G.S. Duarte、および L.A.C.P. da Mota (下記の「参考文献」を参照) の著作に基づいて積分因子やリー群対称法を使用する ODE の解析的解法のコマンドとルーチンをまとめたものです。

コマンドセットには、以下の操作を行うためのルーチンが含まれています。

- 標準的な教科書に従って ODE を分類する。

- 無限小の対称性生成元の係数を明示的に求める。

- これらの無限小を用い、この ODE に対する具体解を作成する。

- 指定した対称または積分因子における最も一般的な ODE 不変式を構築する。

- 指定した  階 ODE に対する積分因子および第 1 積分を明示的に求める。

- 基準となる不変群の正準座標を求める。

- 返された結果をテストする。

次のコマンドを利用できます。

以下は、これらのコマンドの簡単な説明です。

buildsol は、階数の降下法 (dsolve,ODESolStruc を参照) および階数を減らした ODE の解を使用して、ODE の解を構築します。

ODE の解と従属変数を使用して、buildsym は問題を生成した「未知」の ODE に対する無限小のペアを検索します。現在、buildsym では、1 階 ODE および 2 階 ODE の解の対称性のみ検索することができます。

canoni は、対称性生成元の係数 (無限小) を使用して ODE の元の座標から基準の不変群の正準座標への変換を検索します。これらは ODE を求積法に簡約する変換です。

convert/ODEs は、リカッチまたは 2 階線形 ODE のいずれかへの変換を行います。

equinv は、系の範囲内において、リー群 (1 つまたは複数) に対応する無限小のペアまたはペアのリストを使用して、1 パラメータのリー群における最も汎用的な ODE 不変式を返します。

eta_k は、点または動的な対称性と、必要な拡大  に関する無限小のペアを使用して、eta の k 延長を返します。

firint は、厳密な  階 ODE (通常は ODE に積分因子を乗じたもの) を使用して第 1 積分 (つまり、 階の ODE) を返します。

firtest は、指定した式が指定した ODE の第 1 積分であるかどうかをテストします。

入力した ODE に対し、gensys は、2 番目の引数に応じて対称性または積分因子のいずれかに関連付けられた決定 PDE 系を返します。ODE の対称性と積分因子を求めるために、通常このコマンドは他のコマンドと一緒に使用します。

infgen は、無限小と必要な延長量  のペアを使用して  延長された無限小生成元 (Maple マッピング) を返します。

intfactor は、指定した 1 階 ODE の積分因子を検索します。

invariants は、無限小 (およびオプションで ) のペアを使用して、0 階のいずれか 1 つから開始して  階のいずれかで終わる微分不変式のシーケンスを返します。

F の偏導関数を指定した場合、line_int は、方程式  の解を線積分として計算します。

変数、ODE の積分因子、および従属変数  の変化を指定した場合、muchange は、変換された ODE の新しい変数に積分因子を返します。

mutest は、指定した式が指定した ODE の積分因子であるかどうかをテストします。

normalG2 は、 と  が指定した無限小のペア  および  の線形組み合わせを使用して構築され、かつ  を満たすような無限小  のシーケンスを返します。ここで、 は  および  の交換子です。

odeadvisor の主な目的は、ODE を分類することです。追加引数として help を指定した場合、解くためのアドバイスとなるヘルプページをポップアップ表示します。使用できるヘルプページは文献でよく見かけるタイプの ODE (たとえば、dsolve,references を参照) に関するものです。

odepde は、入力した ODE の不変性の 1 パラメータリー群の無限小 xi および eta によって満たされる PDE を構築します。このコマンドはコンテキスト・センシティブで、受け取った ODE の微分の階数に応じて適切な PDE を返します。

power_equivalent は、任意の階数の線形 ODE または 1 階のリカッチまたはアベルの非線形方程式を受け取り、べき乗変換 x -> x^k された等価な ODE を返します。返された ODE はべき乗変換に関して最小次数の不変式を含んでいます。

rational_equivalentt は、任意の階数の線形 ODE または 1 階のリカッチまたはアベルの非線形方程式を受け取り、有理変換 x -> R(x) された等価な ODE を返します。返された ODE は有理変換に関して最小次数の不変式を含んでいます。

redode は、最も汎用的な  階 ODE を返します。mu を指定した場合、積分因子として式  を使用できます。

reduce_order は、指定した対称性を使用して、指定した ODE の階数を減らす変数の変化のシーケンスを計算します。

remove_RootOf は、式を書き換えて RootOf を含む代数式を削除します。一般に、このコマンドは  を含む代数式の数学的な意味を直接的かつ自然に伝えるために使用します。

solve_group は、リー対称群生成元の無限小のリストを使用して導出された代数の表現を返します。リー群が可解の場合は計算も行います。

symgen は、指定した ODE 不変式になる 1 パラメータのリー群の無限小 xi および eta を検索します。原則として、動的対称性もこのコマンドで検索できます。

symtest は、指定したペアの無限小に関連付けられた PDE を簡単化することで、指定した ODE について、無限小のペアが対称かどうかをテストします。原則として、このコマンドで点と動的対称性の両方をテストできます。

transinv は、対称性生成元の係数 (無限小) を使用して ODE 不変式を作る変数の変換集合を検索します。これらの変換は、実際には ODE の不変性の 1 パラメータリー群の有限な形式です。

Xchange は、一連の変換方程式および ODE の点対称性生成元の係数と従属変数  を表す無限小  のペアを使用して、ODE 点対称性生成元で変数の変更を実行します。この変数の変更では、 が微分演算子の係数であることが考慮されます。

Xcommutator は、生成元 (無限小  のペアまたは微分演算子のいずれかの形式) と従属変数  を受け取って、1 パラメータリー群の交換子を返します。

Xgauge は、従属変数および「ゲージ」(任意、 または  形式) に基づいて 1 パラメータリー群の指定した生成元の変換を実行します。

Cheb-Terrab, E.S.、Duarte, L.G.S.、および da Mota, L.A.C.P. 著、『Computer Algebra Solving of Second Order ODEs Using Symmetry Methods』、「Computer Physics Communications」、Vol. 108. (1998): 90

Cheb-Terrab, E.S. および Roche, A.D. 著、『Integrating Factors for Second Order ODEs』、「Journal of Symbolic Computation」、Vol. 27、No. 5. (1999): 501-519

このサブパッケージに実装されているメソッドについての詳細は、下記を参照してください。

Bluman, G.W. および Kumei, S. 著、『Symmetries and Differential Equations』、「Applied Mathematical Sciences」、Vol. 81. Springer-Verlag. (1989)

Stephani, H. 著、『Differential Equations: Their Solution Using Symmetries』、M.A.H. MacCallum 編、New York and London: Cambridge University Press

数式処理システムへの対称法の実装に関する一般的な参考文献は、以下を参照してください。

Hereman, W. 著、『Review of Symbolic Software for Lie Symmetry Analysis』、「Mathematical and Computer Modeling」、Vol. 20, Special Issue on Algorithms for Nonlinear Systems. (1995)