Solving Bernoulli's ODEs

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Description

•	The general form of Bernoulli's equation is given by:

>	Bernoulli_ode := diff(y(x),x)+f(x)y(x)+g(x)y(x)^a;

(1)

where f(x) and g(x) are arbitrary functions, and a is a symbolic power. See Differentialgleichungen, by E. Kamke, p. 19. Basically, the method consists of making a change of variables, leading to a linear equation which can be solved in general manner. The transformation is given by the following:

Examples

(2)

(3)

(4)

>	$ITR := {x = t, y(x) = u(t)^(1/(1-a))}$

$ITR := {x = t, y(x) = u(t)^(1/(-a+1))}$

(5)

and the ODE becomes

>	$new_ode2 := solve(new_ode, {diff(u(t), t)})$

diff(u(t), t) = (a-1)*(u(t)*f(t)+g(t)*(u(t)^(-1/(a-1)))^a*u(t)^(a/(a-1)))

(6)

This ODE can then be solved by dsolve. Afterwards, another change of variables will reintroduce the original variables x and y(x).

The present implementation of dsolve can arrive directly at a general solution for Bernoulli's equation:

ans := y(x) = exp((Int(f(x), x))/(a-1))/((a*(Int(exp(Int(f(x), x))*g(x)/exp((Int(f(x), x))*a), x))-(Int(exp(Int(f(x), x))*g(x)/exp((Int(f(x), x))*a), x))+_C1)^(1/(a-1))*exp((Int(f(x), x))*a/(a-1)))

(7)

	See Also
	DEtools, odeadvisor, dsolve, and ?odeadvisor,<TYPE> where <TYPE> is one of: quadrature, linear, separable, Bernoulli, exact, homogeneous, homogeneousB, homogeneousC, homogeneousD, homogeneousG, Chini, Riccati, Abel, Abel2A, Abel2C, rational, Clairaut, dAlembert, sym_implicit, patterns; for other differential orders see odeadvisor,types.